Dane:

$d_0=0$

$t_x=45\text{s}$

Szukane:

$d=\text{?}$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie odległości między ciałami A i B w chwili $t=45\text{s}$. Przyjmujemy, że w chwili $t=0$ odległość między nimi była zerowa. Oznacza to, że ciała te ruszały z tego samego miejsca, a następnie, zgodnie z treścią zadania, poruszały się w tę samą stronę, ale z różnymi prędkościami. Jeżeli więc ciało A przebyło do chwili $t=45\text{s}$ drogę $s_{\text{A}}$, a ciało B przebyło drogę $s_{\text{B}}$, to wówczas odległość między nimi będzie równa wartości bezwzględnej różnicy dróg, jakie każde z ciał przebyło. Zapiszemy więc:

$d=\left|s_{\text{A}}-s_{\text{B}}\right|$

gdzie:

$d$ - odległość między samochodami w chwili $t=45\text{s}$,

$s_{\text{A}}$ - droga przebyta przez ciało A,

$s_{\text{B}}$ - droga przebyta przez ciało B.

Drogi, jakie zostały przebyte przez każde z ciał, możemy obliczyć na kilka sposobów, albo korzystając ze wzorów na drogę w ruchu jednostajnym oraz ruchu jednostajnie opóźnionym lub w szybszy sposób jako pola pod wykresem zależności szybkości od czasu. Dla ułatwienia obliczeń wykorzystamy sposób drugi.

Droga $s_{\text{A}}$

Powierzchnię pod wykresem zależności wartości prędkości od czasu dla ciała A możemy podzielić na trapez i prostokąt.

gdzie:

$s_{\text{A}.1}$ - pole powierzchni prostokąta,

$s_{\text{A}.2}$ - pole powierzchni trapezu prostokątnego.

Całkowita droga, jaką przebyło ciało A, jest równa sumie dróg na każdym z etapów:

$s_{\text{A}}=s_{\text{A}.1}+s_{\text{A}.2}$

▶ Prostokąt

Pole powierzchni prostokąta opisuje wzór:

$P=ab$

gdzie:

$a,b$ - wymiary prostokąta.

Z wykresu odczytujemy:

$a=30\text{s}$

$b=20\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Wówczas:

$s_{\text{A}.1}=ab$

Podstawiamy dane do wzoru:

$s_{\text{A}.1}=30\text{s}\cdot 20\frac{\text{m}}{\text{s}}=30\cdot 20\cancel{\text{s}}\cdot \frac{\text{m}}{\cancel{\text{s}}}=600\text{m}$

▶ Trapez prostokątny

Pole powierzchni trapezu opisuje wzór:

$P=\frac{a+b}{2}\cdot h$

gdzie:

$a,b$ - długości podstaw trapezu,

$h$ - wysokość trapezu.

Z wykresu odczytujemy:

$a=5\frac{\text{m}}{\text{s}}$

$b=20\frac{\text{m}}{\text{s}}$

$h=45\text{s}-30\text{s}=15\text{s}$

Wówczas:

$s_{\text{A}.2}=\frac{a+b}{2}\cdot h$

Podstawiamy dane do wzoru:

$s_{\text{A}.2}=\frac{5\frac{\text{m}}{\text{s}}+20\frac{\text{m}}{\text{s}}}{2}\cdot 15\text{s}=$

$=\frac{25\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 15\text{s}}{2}=$

$=\frac{375}{2}\frac{\text{m}}{\cancel{\text{s}}}\cdot \cancel{\text{s}}=187,5\text{m}$

Wracamy do wzoru na całkowitą drogę przebytą przez ciało A i podstawiamy dane liczbowe:

$s_{\text{A}}=600\text{m}+187,5\text{m}=787,5\text{m}$

Droga $s_{\text{B}}$

Powierzchnię pod wykresem zależności wartości prędkości od czasu dla ciała B możemy podzielić na dwa trapezy.

gdzie:

$s_{\text{B}.1},s_{\text{B}.2}$ - pole powierzchni trapezów prostokątnych.

Całkowita droga, jaką przebyło ciało B, jest równa sumie dróg na każdym z etapów:

$s_{\text{B}}=s_{\text{B}.1}+s_{\text{B}.2}$

▶ Pierwszy trapez prostokątny

Z wykresu odczytujemy:

$a=10\frac{\text{m}}{\text{s}}$

$b=20\frac{\text{m}}{\text{s}}$

$h=15\text{s}$

Wówczas:

$s_{\text{B}.1}=\frac{a+b}{2}\cdot h$

Podstawiamy dane do wzoru:

$s_{\text{B}.1}=\frac{10\frac{\text{m}}{\text{s}}+20\frac{\text{m}}{\text{s}}}{2}\cdot 15\text{s}=$

$=\frac{{\cancel{30}}^{15}\frac{\text{m}}{\text{s}}}{{\cancel{2}}^1}\cdot 15\text{s}=$

$=15\cdot 15\frac{\text{m}}{\cancel{\text{s}}}\cdot \cancel{\text{s}}=225\text{m}$

▶ Drugi trapez prostokątny

Z wykresu odczytujemy:

$a=45\text{s}-15\text{s}=30\text{s}$

$b=30\text{s}-15\text{s}=15\text{s}$

$h=10\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Wówczas:

$s_{\text{B}.2}=\frac{a+b}{2}\cdot h$

Podstawiamy dane do wzoru:

$s_{\text{B}.2}=\frac{30\text{s}+15\text{s}}{2}\cdot 10\frac{\text{m}}{\text{s}}=$

$=\frac{45\text{s}\cdot 10\frac{\text{m}}{\text{s}}}{2}=$

$=\frac{450}{2}\cancel{\text{s}}\cdot \frac{\text{m}}{\cancel{\text{s}}}=225\text{m}$

Wracamy do wzoru na całkowitą drogę przebytą przez ciało A i podstawiamy dane liczbowe:

$s_{\text{B}}=225\text{m}+225\text{m}=450\text{m}$

Odległość między ciałami

Wracamy do wzoru na odległość między ciałami:

$d=\left|s_{\text{A}}-s_{\text{B}}\right|$

Podstawiamy dane do wzoru i obliczamy:

$d=\left|787,5\text{m}-450\text{m}\right|=\left|337,5\text{m}\right|=337,5\text{m}$

Odpowiedź: W chwili $t=45\text{s}$ odległość pomiędzy ciałem A i B wynosiła $337,5\text{m}$.