Uczniowie na lekcji... Oblicz szybkości...- Zadanie 4.2.: Fizyka 1. Karty pracy ucznia. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$m_{1} = 176, 30 g = 176, 3 \cdot 1 0^{- 3} kg$

$m_{2} = 353, 10 g = 353, 1 \cdot 1 0^{- 3} kg$

$Δ m = 0, 05 g = 0, 05 \cdot 1 0^{- 3} kg$

Szukane:

$p_{1} = ?$

$p_{2} = ?$

$Δ p_{1} = ?$

$Δ p_{2} = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie wartości pędów układu przed i po zderzeniu oraz niepewności pomiarowe tych wielkości. Do wyznaczenia niepewności skorzystamy z przykładu $7$ na stronie $252$ podręcznika. Przykład opisuje zagadnienie szacowanie niepewności pomiaru złożonego. Naszym zadaniem jest wyznaczenie niepewności dla pędu, pęd jest zależnością złożoną.

WARTOŚĆ PĘDU

Wartość pędu możemy wyrazić jako:

$p = m v$

gdzie:

$p$ - wartość pędu ciała,

$m$ - masa ciała,

$v$ - wartość prędkości ciała.

Skorzystajmy z rozpisanych w przykładzie metod NKP (najmniej korzystnego przypadku). Pęd jest zależnością typu:

$Z = X Y$

gdzie:

$Z$ - wielkość, której niepewność szukamy,

$X$ - pierwsza wielkość zależności,

$Y$ - druga wielkość zależności.

Zależność tego typu jest opisana w podpunkcie $4.$ na stronie $254$ . Niepewność pomiarowa wielkości $Z$ jest dana wzorem:

$Δ Z = X Δ Y + Y Δ X$

gdzie:

$Δ Z$ - niepewność pomiarowa wielkości $Z$ ,

$Δ Y$ - niepewność pomiarowa wielkości $Y$ ,

$Δ X$ - niepewność pomiarowa wielkości $X$ .

W naszym przypadku odpowiednio możemy zapisać:

$Z = p$

$Y = v$

$X = m$

Zatem niepewność $Δ p$ będzie dana wzorem:

$Δ p = m Δ v + v Δ m$

gdzie:

$Δ p$ - niepewność pomiarowa wartości pędu,

$Δ v$ - niepewność pomiarowa szybkości,

$Δ m$ - niepewność pomiarowa masy.

Przed zderzeniem poruszał się tylko wózek $1$ , a wózek $2$ był nieruchomy wówczas wartość pędu wózka $1$ będzie równa wartości pędu układu przed zderzeniem. Po zderzeniu wózki poruszają się razem z jedną prędkością. Wartość pędu zderzonych wózków będzie równa wartości pędu układu po zderzeniu. Zapiszmy niepewność $Δ p_{1}$ :

$Δ p_{1} = m_{1} Δ v_{1} + v_{1} Δ m$

gdzie:

$Δ p_{1}$ - niepewność pomiarowa wartości pędu układu przed zderzeniem,

$Δ v_{1}$ - niepewność pomiarowa szybkości wózka $1$ ,

$v_{1}$ - szybkość wózka $1$ ,

$m_{1}$ - masa wózka $1$ .

Analogicznie możemy zapisać niepewność $Δ p_{2}$ :

$Δ p_{2} = m_{2} Δ v_{2} + v_{2} Δ m$

gdzie:

$Δ p_{2}$ - niepewność pomiarowa wartości pędu układu po zderzeniu,

$m_{2}$ - masa wózków,

$Δ v_{2}$ - niepewność pomiaru szybkości, z jaką poruszają się wózki po zderzeniu,

$v_{2}$ - szybkość, z jaką poruszają się wózki po zderzeniu.

Wartość pędu układu przed zderzeniem zapiszemy:

$p_{1} = m_{1} v_{1}$

gdzie:

$p_{1}$ - wartość pędu układu przed zderzeniem.

A wartość pędu układu po zderzeniu zapiszemy:

$p_{2} = m_{2} v_{2}$

gdzie:

$p_{2}$ - wartość pędu układu po zderzeniu.

Wartości prędkości i ich niepewności wyznaczyliśmy w poprzednim podpunkcie tego zadania:

$v_{1} = 43, 4 \frac{cm}{s} = 43, 4 \cdot 1 0^{- 2} \frac{m}{s}$

$v_{2} = 21, 3 \frac{cm}{s} = 21, 3 \cdot 1 0^{- 2} \frac{m}{s}$

$Δ v_{1} = 1, 9 \frac{cm}{s} = 1, 9 \cdot 1 0^{- 2} \frac{m}{s}$

$Δ v_{2} = 0, 5 \frac{cm}{s} = 0, 5 \cdot 1 0^{- 2} \frac{m}{s}$

Podstawmy dane liczbowe:

$Δ p_{1} = 176, 3 \cdot 1 0^{- 3} kg \cdot 1, 9 \cdot 1 0^{- 2} \frac{m}{s} + 43, 4 \cdot 1 0^{- 2} \frac{m}{s} \cdot 0, 05 \cdot 1 0^{- 3} kg =$

$Δ p_{1} = 176, 3 \cdot kg \cdot 1, 9 \cdot 1 0^{- 5} \frac{m}{s} + 43, 4 \cdot \frac{m}{s} \cdot 0, 05 \cdot 1 0^{- 5} kg =$

$Δ p_{1} = (176, 3 \cdot 1, 9 + 43, 4 \cdot 0, 05) \cdot 1 0^{- 5} kg \cdot \frac{m}{s} =$

$Δ p_{1} = 337, 14 \cdot 1 0^{- 5} kg \cdot \frac{m}{s} \approx 0, 004 kg \cdot \frac{m}{s}$

$Δ p_{2} = 353, 1 \cdot 1 0^{- 3} kg \cdot 0, 5 \cdot 1 0^{- 2} \frac{m}{s} + 21, 3 \cdot 1 0^{- 2} \frac{m}{s} \cdot 0, 05 \cdot 1 0^{- 3} kg =$

$Δ p_{2} = 353, 1 kg \cdot 0, 5 \cdot 1 0^{- 5} \frac{m}{s} + 21, 3 \frac{m}{s} \cdot 0, 05 \cdot 1 0^{- 5} kg =$

$Δ p_{2} = (353, 1 \cdot 0, 5 + 21, 3 \cdot 0, 05) \cdot 1 0^{- 5} kg \cdot \frac{m}{s} =$

$Δ p_{2} = 177, 615 \cdot 1 0^{- 5} kg \cdot \frac{m}{s} \approx 0, 002 kg \cdot \frac{m}{s}$

$p_{1} = 176, 3 \cdot 1 0^{- 3} kg \cdot 43, 4 \cdot 1 0^{- 2} \frac{m}{s} =$

$p_{1} = 176, 3 kg \cdot 43, 4 \cdot 1 0^{- 5} \frac{m}{s} =$

$p_{1} = 176, 3 \cdot 43, 4 \cdot 1 0^{- 5} kg \cdot \frac{m}{s} =$

$p_{1} = 7651, 42 \cdot 1 0^{- 5} kg \cdot \frac{m}{s} \approx 0, 077 kg \cdot \frac{m}{s}$

$p_{2} = 353, 1 \cdot 1 0^{- 3} kg \cdot 21, 3 \cdot 1 0^{- 2} \frac{m}{s} =$

$p_{2} = 353, 1 \cdot 21, 3 \cdot 1 0^{- 5} kg \cdot \frac{m}{s} =$

$p_{2} = 7521, 03 \cdot 1 0^{- 5} kg \cdot \frac{m}{s} \approx 0, 075 kg \cdot \frac{m}{s}$

Odpowiedź: Wartość pędu układu przed zderzeniem wynosi $p_{1} = (0, 077 \pm 0, 004) kg \cdot \frac{m}{s}$ , a wartość pędu układu po zderzeniu wynosi $p_{2} = (0, 075 \pm 0, 002) kg \cdot \frac{m}{s}$ .