Naszym zadaniem jest wyznaczenie wzoru na maksymalną szybkość kulki $v_{\max }$. Zgodnie z treścią zadania, na kulkę działają trzy siły:

• siła grawitacji ${\vec{F}}_{\text{g}}$ zwrócona pionowo w dół,
• siła wyporu cieczy ${\vec{F}}_{\text{w}}$ zwrócona pionowo w górę,
• siła oporu ruchu ${\vec{F}}_{\text{o}}$, która działa zawsze przeciwnie do kierunku poruszania się ciała.

Zauważmy, że kulka opada, zatem porusza się w dół. Oznacza to, że wektor siły oporu ruchu ${\vec{F}}_{\text{o}}$ jest zwrócony przeciwnie, czyli do góry. Mamy więc:

• siła ${\vec{F}}_{\text{g}}$ zwrócona pionowo w dół,
• siła ${\vec{F}}_{\text{w}}$ i siła ${\vec{F}}_{\text{o}}$ zwrócona pionowo w górę.

Kulka opada, zatem siła ${\vec{F}}_{\text{g}}$ zwrócona w dół ma większą wartość niż złożenie sił ${\vec{F}}_{\text{w}}$ i ${\vec{F}}_{\text{o}}$. Uwzględniając zwroty sił oraz fakt, że siła ${\vec{F}}_{\text{g}}$ ma największą wartość, ponieważ kulka opada na dno, zapiszemy, że wzór na wartość siły wypadkowej przyjmuję postać:

$F_{\text{wyp.}}=F_{\text{g}}-F_{\text{w}}-F_{\text{o}}$

Zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki Newtona wiemy, że jeżeli na ciało nie działa żadna siła, lub siły działające na ciało się równoważą, to ciało spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym. Przyjmujemy,  że kulka po pewnym czasie rozpędza się do szybkości $v_{\max }$ i wówczas, siły działające na kulkę się równoważą. Wówczas:

$F_{\text{wyp.}}=0$

$F_{\text{g}}-F_{\text{w}}-F_{\text{o}}=0|+F_{\text{w}}+F_{\text{o}}$

$F_{\text{g}}=F_{\text{w}}+F_{\text{o}}$

Powiedzieliśmy, że siły te się równoważy, gdy kulka porusza się z szybkością $v_{\max }$. Wówczas, zgodnie ze wzorem podanym w treści zadania, siła oporu ruchu przyjmuję największą wartość, którą opisuje wzór:

$F_{\text{o}.\max }=AR{v}_{\max }$

Wracamy do równania opisujące równoważenie się sił, pamiętając, że aby warunek ten był spełniony, to siła oporu ruchu przyjmuje największą warunek:

$F_{\text{g}}=F_{\text{w}}+F_{\text{o}.\max }$

Podstawiamy wzór na wartość siły oporu ruchu

$F_g=F_{\text{w}}+AR{v}_{\max }$

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać wzór na szybkość $v_{\max }$:

$F_g=F_{\text{w}}+AR{v}_{\max }|-F_{\text{w}}$

$F_{\text{g}}-F_{\text{w}}=AR{v}_{\max }|:AR$

$\frac{F_{\text{g}}-F_{\text{w}}}{AR}=v_{\max }$

$v_{\max }=\frac{F_{\text{g}}-F_{\text{w}}}{AR}$

Teraz przejdźmy do wyznaczenia wzorów na poszczególne wartości sił.

Wartość siły ${\vec{F}}_{\text{g}}$

WARTOŚĆ SIŁY CIĘŻKOŚCI Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru: $F_{\text{g}}=mg$  gdzie: $F_{\text{g}}$ - wartość siły ciężkości, $m$ - masa ciała,  $g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Nie znamy masy ciała, ale znamy jej gęstość ${\rho }_{\text{k}}$ oraz jej promień $R$. 

GĘSTOŚĆ Korzystając, z definicji gęstości wiemy, że: $\rho =\frac{m}{V}$ gdzie: $\rho$ - gęstość ciała,  $m$ - masa ciała,  $V$ - objętość ciała.

Przekształcamy powyższy wzór, tak aby otrzymać wzór na masę ciała:

$\frac{m}{V}=\rho |\cdot V$

$m=\rho V$

KULA - OBJĘTOŚĆ Objętość kuli obliczamy, korzystając ze wzoru: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ gdzie: $V$ - objętość kuli, $\pi$ - liczba pi, $r$ - promień kuli.

Zapiszemy więc, że masę kuli opisuje wzór:

$m_{\text{k}}={\rho }_{\text{k}}{V}_{\text{k}}$

$m_{\text{k}}={\rho }_{\text{k}}\frac{4}{3}\pi R^3$

$m_{\text{k}}=\frac{4}{3}\pi {\rho }_{\text{k}}R$

Wówczas wzór na wartość siły grawitacji przyjmuje postać:

$F_{\text{g}}=m_{\text{k}}g$

$F_{\text{g}}=\frac{4}{3}\pi {\rho }_{\text{k}}{R}^{3}g$

Teraz przejdziemy do wyznaczenia wzoru na wartość siły wyporu.

Wartość siły ${\vec{F}}_{\text{w}}$

SIŁA WYPORU Siła wyporu działająca na ciało zanurzone w płynie jest skierowana pionowo do góry – przeciwnie do ciężaru. Wartość siły wyporu jest równa ciężarowi płynu wypartego przez to ciało: $F_{\text{w}}=\rho gV$  gdzie:  $F_{\text{w}}$ - wartość siły wyporu, $\rho$ - gęstość cieczy, w której znajduje się ciało,   $g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,   $V$ - objętość wypartej cieczy równa objętości części ciała zanurzonej w płynie.

Rozważamy ruch kulki od chwili, w której jest całkowicie zanurzona, zatem zanurzona objętość kulki jest równa jej całkowitej objętości, którą opisuje wzór:

$V=\frac{4}{3}\pi R^3$

Wówczas zapiszemy, że wartość siły wyporu cieczy, która działa na kulę, opisuje wzór:

$F_{\text{w}}={\rho }_{\text{c}}g{V}_{\text{k}}$

$F_{\text{w}}={\rho }_{\text{c}}g\frac{4}{3}\pi R^3$

$F_{\text{w}}=\frac{4}{3}\pi {\rho }_{\text{c}}{R}^{3}g$

Wracamy do wzoru na szybkość maksymalną i podstawiamy poszczególne wzory:

$v_{\max }=\frac{F_{\text{g}}-F_{\text{w}}}{AR}$

$v_{\max }=\frac{\frac{4}{3}\pi {\rho }_{\text{k}}{R}^{3}g-\frac{4}{3}\pi {\rho }_{\text{c}}{R}^{3}g}{AR}$

$v_{\max }=\frac{\frac{4}{3}\pi R^{{\xcancel{3}}^2}g\left({\rho }_{\text{k}}-{\rho }_{\text{c}}\right)}{A\xcancel{R}}$

$v_{\max }=\frac{4}{3}\pi \frac{R^2}{A}g\left({\rho }_{\text{k}}-{\rho }_{\text{c}}\right)$