Dane:

$T=27\text{min}50\text{s}$

$h=135\text{m}$

$n=1$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ przybliżona wartość liczby pi: $\pi =3,14$.

Szukane:

$v_{\text{sˊr}}=\text{?}$

$\left|{\vec{v}}_{\text{sˊr}}\right|=\text{?}$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie szybkości średniej oraz wartości prędkości średniej jednej z kapsuł, które poruszają się na wielkim kole obserwacyjnym. Interesuje nas sytuacja, w której kapsuła wykonuje jeden pełny obrót. Przyjmujemy, że średnica koła obserwacyjnego jest równa maksymalnej wysokości, na jaką wznosi się kapsuła:

$d=h$

Średnia jest dwukrotnością promienia:

$d=2r$

gdzie:

$d$ - średnia koła,

$r$ - promień koła.

Wówczas promień koła obserwacyjnego opisuje wzór:

$2r=d|:2$

$r=\frac{d}{2}$

$r=\frac{h}{2}$

Szybkość średnia

Szybkość średnią opisuje wzór:

$v_{\text{sˊr}}=\frac{s}{t}$

gdzie:

$v_{\text{sˊr}}$ - średnia szybkość,

$s$ - droga, jaką przebywa ciało,

$t$ - czas, w jakim ciało przebyło drogę  $s$.

Kapsuła, która wykonała jeden pełny obrót, przebyła drogę równą obwodowi koła obserwacyjnego:

$s=L$

Obwód koła opisuje wzór:

$L=2\pi r$

gdzie:

$\pi$ - liczba pi,

$r$ - promień koła.

Wracamy do wzoru na szybkość średnią:

$v_{\text{sˊr}}=\frac{s}{t}$

$v_{\text{sˊr}}=\frac{L}{T}$

$v_{\text{sˊr}}=\frac{2\pi r}{T}$

Podstawiamy wzór na promień koła:

$v_{\text{sˊr}}=\frac{{\cancel{2}}^1\pi \frac{h}{{\cancel{2}}^1}}{T}$

$v_{\text{sˊr}}=\frac{\pi h}{T}$

Zanim podstawimy do wzoru dane, zamieniamy jednostkę czasu na sekundy. Wiemy, że:

$1\text{min}=60\text{s}$

Wówczas:

$t=27\text{min}50\text{s}=27\text{min}+50\text{s}=$

$=27\cdot 1\text{min}+50\text{s}=27\cdot 60\text{s}+50\text{s}=$

$=1620\text{s}+50\text{s}=1670\text{s}$

Podstawiamy dane do wzoru:

$v_{\text{sˊr}}=\frac{3,14\cdot 135\text{m}}{1670\text{s}}=$

$=\frac{423,9\text{m}}{1670\text{s}}\approx 0,253832\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Wynik zaokrąglamy do dwóch cyfr znaczących:

$v_{\text{sˊr}}=0,253832\frac{\text{m}}{\text{s}}\approx 0,25\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Wartość prędkości średniej

Wartość prędkości średniej opisuje wzór:

$\left|{\vec{v}}_{\text{sˊr}}\right|=\frac{\left|\Delta \vec{r}\right|}{\Delta t}$

gdzie:

${\vec{v}}_{\text{sˊr}}$ - wektor prędkości średniej,

$\Delta \vec{r}$ - wektor przemieszczenia,

$\Delta t$ - czas, w jakim przemieszczenie nastąpiło.

W rozważanym przez nas przypadku początek wektora przemieszczenia opisuje punkt początkowy, a koniec wektora opisuje punkt końcowy. Przyjmijmy, że kapsuła rozpoczyna swoją podróż na samym dole koła obserwacyjnego. Jeżeli kapsuła wykonała jeden pełny obrót, to wróciła do tego samego punktu. Wówczas położenie  punktu końcowego jest takie samo jak punktu początkowego. Oznacza to, że wektor przemieszczenia jest zerowy, czyli wartość wektora przemieszczenia wynosi:

$\left|\Delta \vec{r}\right|=0\text{m}$

Wówczas wartość prędkości średniej wynosi:

$\left|{\vec{v}}_{\text{sˊr}}\right|=0\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Odpowiedź: Szybkość średnia kapsuły wynosi $0,25\frac{\text{m}}{\text{s}}$, natomiast wartość prędkości średniej wynosi $0\frac{\text{m}}{\text{s}}$.