Przyjmij, że orbita...- Zadanie 1: Fizyka 1. Karty pracy ucznia. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

Dane:

$r = 3, 84 \cdot 1 0^{8} m$

$T = 2, 36 \cdot 1 0^{6} s$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ stała grawitacji: $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} N \cdot \frac{m ^{2}}{kg ^{2}}$ ,

▶ przybliżona wartość liczby pi: $π = 3, 14$ .

Szukane:

$M = ?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest wyznaczenie masy Ziemi. Mamy to zrobić krok po kroku przedstawionym w zadaniu.

Krok 1.

Wiemy, że na księżyc krążący wokół Ziemi działa siła grawitacji, która pełni rolę siły dośrodkowej. W związku z tym wiemy, że te dwie siły mają taką samą wartość i możemy zapisać:

$F_{g} = F_{d}$

gdzie:

$F_{g}$ - wartość siły grawitacji,

$F_{d}$ - wartość siły dośrodkowej.

Wartość siły dośrodkowej możemy obliczyć z zależności:

WARTOŚĆ SIŁY DOŚRODKOWEJ

Wartość siły dośrodkowej możemy przedstawić wzorem:

$F_{d} = \frac{m v ^{2}}{r}$

gdzie:

$F_{d}$ - wartość siły dośrodkowej działającej na ciało,

$m$ - masa ciała poruszającego się po okręgu,

$v$ - wartość prędkości liniowej ciała poruszającego się po okręgu,

$r$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało.

Natomiast wartość siły grawitacji:

PRAWO POWSZECHNEGO CIĄŻENIA

Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia wartość oddziaływania grawitacyjnego pomiędzy dwoma ciałami przedstawiamy wzorem:

$F_{g} = \frac{G m _{1} m _{2}}{r ^{2}}$

gdzie:

$F_{g}$ - wartość siły grawitacji,

$G$ - stała grawitacji,

$m_{1}$ i $m_{2}$ - masy oddziałujących ze sobą ciał,

$r$ - odległość pomiędzy środkami tych mas.

Podstawiając powyższe wzory do równania z początku zadania:

$\frac{G m _{1} m _{2}}{r ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{r}$

W naszym przypadku wiemy, że Księżyc porusza się po orbicie kołowej, dlatego to jego masę należy wstawić po prawej stronie powyższego równania. Po lewej stronie jedna z mas odpowiada masie Ziemi, a druga – masie Księżyca. W związku z tym możemy zapisać:

$\frac{G M _{Z} m _{K}}{r ^{2}} = \frac{m _{K} v ^{2}}{r}$

gdzie:

$M_{Z}$ - masa Ziemi,

$m_{K}$ - masa księżyca.

Krok 2.

Jak widzimy, masa Księżyca występuje po obu stronach równania, dlatego możemy ją skrócić. Po wykonaniu tego uproszczenia otrzymujemy:

$\frac{G M _{Z}}{r ^{2}} = \frac{v ^{2}}{r}$

Nie znamy wartości prędkości, ale wiemy, że możemy ją obliczyć z zależności:

SZYBKOŚĆ W RUCHU JEDNOSTAJNYM

W ruchu jednostajnym szybkość poruszającego się ciała możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$v = \frac{s}{t}$

gdzie:

$v$ - szybkość ciała,

$s$ - droga przebyta przez ciało,

$t$ - czas ruchu ciała.

Przyjmijmy, że księżyc wykona jeden pełen obrót wokół Ziemi. Wówczas droga jest równa obwodowi koła i możemy obliczyć ją z zależności:

$s = 2 π r$

gdzie:

$π$ - liczba pi.

W przypadku jednego pełnego obiegu czas ruchu odpowiada okresowi. W związku z tym wzór na szybkość w naszym przypadku będzie miał postać:

$v = \frac{2 π r}{T}$

gdzie:

$T$ - okres.

Podstawiając ten wzór na szybkość do równania sił zapisanego na początku tego kroku:

$\frac{G M _{Z}}{r ^{2}} = \frac{( \frac{2 π r}{T} ) ^{2}}{r}$

$\frac{G M _{Z}}{r ^{2}} = \frac{4 π ^{2} r ^{2}}{r T ^{2}}$

$\frac{G M _{Z}}{r ^{2}} = \frac{4 π ^{2} r}{T ^{2}}$

Krok 3.

Przekształcamy powyższe równanie zgodnie z instrukcjami:

$\frac{G M _{Z}}{r ^{2}} = \frac{4 π ^{2} r}{T ^{2}} ∣ \cdot r^{2}$

$G M_{Z} = \frac{4 π ^{2} r ^{3}}{T ^{2}} ∣ : G$

$M_{Z} = \frac{4 π ^{2} r ^{3}}{G T ^{2}}$

Krok 4.

Podstawiamy dane:

$M_{Z} = \frac{4 \cdot 3 , 1 4 ^{2} \cdot ( 3 , 84 \cdot 1 0 ^{8} m ) ^{3}}{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} N \cdot \frac{m ^{2}}{kg ^{2}} \cdot ( 2 , 36 \cdot 1 0 ^{6} s ) ^{2}} \approx$

$M_{Z} \approx \frac{4 \cdot 9 , 86 \cdot 56 , 62 \cdot 1 0 ^{24} m ^{3}}{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} N \cdot \frac{m ^{2}}{kg ^{2}} \cdot 5 , 57 \cdot 1 0 ^{12} s ^{2}} \approx$

$M_{Z} \approx \frac{2233 , 1 \cdot 1 0 ^{24} m}{371 , 52 N \cdot \frac{s ^{2}}{kg ^{2}}} =$

$M_{Z} = \frac{2233 , 1 \cdot 1 0 ^{24} m}{371 , 52 kg \cdot \frac{m}{s ^{2}} \cdot \frac{s ^{2}}{kg ^{2}}} = \frac{2233 , 1 \cdot 1 0 ^{24}}{371 , 52 \frac{1}{kg}} \approx$