Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest wyznaczenie, w którym momencie narciarz Q dogonił narciarza P.

Zgodnie z treścią zadania narciarz P dogania narciarza Q i od tego momentu rozpoczyna hamowanie. Jest to punkt startu na naszym diagramie z wykresami. Od tej chwili narciarz P zaczyna zwalniać, gdy narciarz Q porusza się ze stałą szybkością. Spotkają się oni ponownie w chwili, gdy przejadą taką samą drogę. Nie muszą mieć wtedy takiej samej szybkości. Zaznaczmy na wykresie ważne i potrzebne nam punkty:

gdzie:

$A$ - punkt na wykresie, odpowiadający początkowi analizowanego przez nas ruchu, dla narciarza P,

$B$ - punkt na wykresie, odpowiadający końcowi analizowanego przez nas ruchu, dla narciarza P,

$C$ - punkt na wykresie, odpowiadający początkowi analizowanego przez nas ruchu, dla narciarza Q,

$D$ - punkt na wykresie, odpowiadający końcowi analizowanego przez nas ruchu, dla narciarza Q,

$E$ - początek układu kartezjańskiego - punkt przecięcia obu osi,

$F$ - punkt przecięcia wykresów dla obu narciarzy.

---

Rozpatrzmy obie, podane w odpowiedziach, możliwości:

✹ narciarz Q dogania narciarza P po czasie $3\text{s}$:

Zaznaczmy drogę przejechaną przez narciarza P po takim czasie, jako pole pod wykresem: 

gdzie:

$P_I$ - pole pod wykresem ruchu narciarza P po czasie $3\text{s}$.

Widzimy, że figurą pod wykresem jest trapez prostokątny, którego pole obliczamy jako:

$P=\frac{\left(a+b\right)\cdot h}{2}$

gdzie:

$P$ - pole trapezu prostokątnego,

$a$ - długość krawędzi podstawy,

$b$ - długość krawędzi podstawy,

$h$ - wysokość trapezu prostokątnego.

W naszym przypadku ten wzór będzie miał postać:

$P_I=\frac{\left(\left|EA\right|+\left|GF\right|\right)\cdot \left|EG\right|}{2}$

Odczytajmy z wykresu potrzebne nam współrzędne punktów:

$A=\left(0;8\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)$

$E=\left(0;0\right)$

$F=\left(3\text{s};4\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)$

$G=\left(3\text{s};0\right)$

Musimy obliczyć długość odcinka. Możemy wykorzystać fakt, że znamy współrzędne wszystkich punktów o skorzystać ze wzoru na długość odcinka między dwoma punktami:

$d=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$

gdzie:

$d$ - długość odcinka między dwoma punktami,

$x_1$ - współrzędna kartezjańska osi odciętych dla pierwszego punktu,

$y_1$ - współrzędna kartezjańska osi rzędnych dla pierwszego punktu,

$x_2$ - współrzędna kartezjańska osi odciętych dla drugiego punktu,

$y_2$ - współrzędna kartezjańska osi rzędnych dla drugiego punktu.

Skorzystajmy z tego wzoru i obliczmy długości odcinków:

✹ długość odcinka $\left|EA\right|$:

$\left|EA\right|=\sqrt{{\left(0-0\right)}^2+{\left(8\frac{\text{m}}{\text{s}}-0\right)}^2}=\sqrt{0^2+{\left(8\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}=\sqrt{0+64\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}=$

$=\sqrt{64\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}=8\frac{\text{m}}{\text{s}}$

✹ długość odcinka $\left|GF\right|$:

$\left|GF\right|=\sqrt{{\left(3\text{s}-3\text{s}\right)}^2+{\left(4\frac{\text{m}}{\text{s}}-0\right)}^2}=\sqrt{0^2+{\left(4\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}=\sqrt{0+16\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}=$

$=\sqrt{16\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}=4\frac{\text{m}}{\text{s}}$

✹ długość odcinka $\left|EG\right|$:

$\left|EG\right|=\sqrt{{\left(3\text{s}-0\right)}^2+{\left(0-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(3\text{s}\right)}^2+0^2}=\sqrt{9{\text{s}}^2+0}=$

$=\sqrt{9{\text{s}}^2}=3\text{s}$

Wstawiamy dane liczbowe do naszego wzoru i otrzymujemy:

$P_I=\frac{\left(8\frac{\text{m}}{\text{s}}+4\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)\cdot 3\text{s}}{2}=\frac{\stackrel{6}{\cancel{12}}\frac{\text{m}}{\cancel{\text{s}}}\cdot 3\cancel{\text{s}}}{\underset{1}{\cancel{2}}}=6\text{m}\cdot 3=18\text{m}$

Zatem droga przebyta przez narciarza P w czasie $3\text{s}$ wynosiła $18\text{m}$.

---

Droga przebyta przez narciarza Q w tym samym czasie:

Zaznaczmy drogę przejechaną przez narciarza Q po takim czasie, jako pole pod wykresem: 

gdzie:

$Q_I$ - droga przejechana przez narciarza Q w czasie $3\text{s}$.

Widzimy, że figurą pod wykresem jest prostokąt, którego pole obliczamy jako: 

$P=ab$

gdzie:

$P$ - pole prostokąta,

$a$ - długość boku prostokąta,

$b$ - długość boku prostokąta.

W naszym przypadku wzór na pole prostokąta ma postać:

$Q_I=\left|EG\right|\cdot \left|GF\right|$

W przypadku pola $P_I$ obliczyliśmy już długości tych odcinków, więc wstawmy te dane do tego wzoru i otrzymujemy:

 $Q_I=3\cancel{\text{s}}\cdot 4\frac{\text{m}}{\cancel{\text{s}}}=3\cdot 4\text{m}=12\text{m}$

Widzimy, że narciarz Q w tym samym czasie przejechał trasę $12\text{m}$, czyli mniej od narciarza P. Zatem nie dogonił on jeszcze narciarza P. Zatem tokiem dedukcji możemy się domyśleć, że druga z proponowanych odpowiedzi powinna być poprawna, ale wykażmy to.

✹ narciarz Q dogonił narciarza P po przebyciu drogi $24\text{m}$:

Przyjrzyjmy się naszemu wykresowi szybkości narciarza P od czasu ruchu i widzimy, że jest on malejący. Oznacza to, że porusza się on ruchem jednostajnie opóźnionym.

DROGA W RUCHU JEDNOSTAJNIE OPÓŹNIONYM Drogę, jaką przebędzie ciało w ruchu jednostajnie opóźnionym, przedstawiamy za pomocą wzoru: $s=v_{0}t-\frac{1}{2}a{t}^2$ gdzie: $s$ - droga przebyta przez ciało, $v_0$ - wartość prędkości początkowej ciała,  $a$ - wartość opóźnienia, z jakim porusza się ciało,  $t$ - czas ruchu ciała.

Możliwość B w tym ćwiczeniu zakłada, że narciarz przejechał drogę równą:

$s=24\text{m}$

Wartość początkowej prędkości ciała możemy odczytać z naszego wykresu, bo jest to współrzędna szybkości dla punktu A. Otrzymujemy więc, że szybkość początkowa narciarza, w analizowanym przez nas ruchu, wynosi:

$v_0=8\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Zauważmy natomiast, że nie znamy wartości dwóch wielkości - przyspieszenia i czasu. Czas ruchu ciała będzie naszą szukaną wielkością, bo chcemy wiedzieć, po jakim czasie narciarz P przejedzie trasę $24\text{m}$, więc to będzie nasza jedyna niewiadoma w tym równaniu.

WARTOŚĆ PRZYSPIESZENIA Korzystając z definicji przyspieszenia, wiemy, że jego wartość możemy obliczyć za pomocą wzoru: $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ gdzie: $a$ - wartość przyspieszenia, $\Delta v$ - zmiana szybkości ciała, $\Delta t$ - czas, w jakim zmienia się szybkość.

Zmianę szybkości ciała definiujemy jako:

$\Delta v=\left|v_k-v_0\right|$

gdzie:

$v_k$ - końcowa szybkość narciarza.

W przypadku narciarza P jego końcowa szybkość jest równa szybkości w punkcie B, czyli:

$v_k=0$

Zatem zmiana szybkości, w tym przypadku, wynosi:

$\Delta v=\left|v_k-v_0\right|$

$\Delta v=\left|0-v_0\right|$

$\Delta v=\left|-v_0\right|$

$\Delta v=v_0$

Czas ruchu ciała definiujemy jako:

$\Delta t=\left|t-t_0\right|$

gdzie:

$t_0$ - czas, gdy narciarz rozpoczął ruch.

W przypadku narciarza P jego początkowy czas jest równy czasowi w punkcie A, czyli:

$t_0=0$

Zatem zmiana szybkości, w tym przypadku, wynosi:

$\Delta t=\left|t-t_0\right|$

$\Delta t=\left|t-0\right|$

$\Delta t=\left|t\right|$

$\Delta t=t$

Zatem nasz wzór na wartość przyspieszenia ma postać:

$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$

$a=\frac{v_0}{t}$

Wstawiamy powyższy wzór do wzoru na drogę i otrzymujemy:

$s=v_{0}t-\frac{1}{2}a{t}^2$ 

$s=v_{0}t-\frac{1}{2}\frac{v_0}{\cancel{t}}\cdot t\cancel{{}^2}$

$s=v_{0}t-\frac{1}{2}{v}_{0}t$

$s=\frac{1}{2}{v}_{0}t$

Przekształćmy powyższy wzór względem czasu i otrzymujemy:

$s=\frac{1}{2}{v}_{0}t\mid :\frac{v_0}{2}$

$t=\frac{s}{\frac{v_0}{2}}$

$t=\frac{2s}{v_0}$

Wstawiamy dane liczbowe i otrzymujemy:

$t=\frac{2\cdot \stackrel{3}{\cancel{24}}\cancel{\text{m}}}{\underset{1}{\cancel{8}}\frac{\cancel{\text{m}}}{\text{s}}}=\frac{2\cdot 3}{\frac{1}{\text{s}}}=6\text{s}$

Widzimy, że aby narciarz P przejechał drogę o długości $24\text{m}$, to musi poruszać się przez $6\text{s}$. Zaznaczmy na wykresie pole narciarza Q, które odpowiada drodze, jaką przejechał w czasie $6\text{s}$:

gdzie:

$Q_{II}$ - pole pod wykresem ruchu narciarza Q, które odpowiada drodze, jaką przejechał w czasie $6\text{s}$.

Widzimy, że figurą pod wykresem jest prostokąt, którego pole wyznaczamy jako iloczyn długości dwóch różnych boków:

$P=ab$

gdzie:

$P$ - pole prostokąta,

$a$ - długość krawędzi prostokąta,

$b$ - druga długość krawędzi prostokąta.

W naszym przypadku wzór na pole prostokąta będzie miał postać:

$Q_{II}=\left|EB\right|\cdot \left|BD\right|$

Odczytajmy współrzędne potrzebnych nam punktów i mamy:

$E=\left(0;0\right)$

$B=\left(6\text{s};0\right)$

$D=\left(6\text{s};4\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)$

Skorzystajmy, z przytoczonego już, wzoru na długość odcinka pomiędzy dwoma punktami i otrzymujemy:

✹ długość odcinka $\left|EB\right|$:

$\left|EB\right|=\sqrt{{\left(6\text{s}-0\right)}^2+{\left(0-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(6\text{s}\right)}^2+0^2}=\sqrt{36{\text{s}}^2+0^2}=$

$=\sqrt{36{\text{s}}^2}=6\text{s}$

✹ długość odcinka $\left|BD\right|$:

$\left|BD\right|=\sqrt{{\left(6\text{s}-6\text{s}\right)}^2+{\left(4\frac{\text{m}}{\text{s}}-0\right)}^2}=\sqrt{0^2+{\left(4\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}=\sqrt{0+{\left(4\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}=$

$=\sqrt{16\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}=4\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Wstawiamy dane do naszego wzoru na drogę i otrzymujemy:

$Q_{II}=6\cancel{\text{s}}\cdot 4\frac{\text{m}}{\cancel{\text{s}}}=24\text{m}$

Widzimy więc, że w tym samym czasie oba pojazdy przejechały taki sam dystans. Oznacza to, że w tym momencie się spotkają.

 Odpowiedź: 

 Narciarz Q dogonił narciarza P B. po przebyciu drogi $24\text{m}$, ponieważ 1. wówczas obaj narciarze przebyli taką samą drogę.