Dane:

$n=100\text{moli}$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ stała gazowa: $R=8,31\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K}}$ .

 

$\mathbf{a})$

 Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest naszkicowanie wykresu zależności ciśnienia od objętości $p\left(V\right)$. 

Aby wykonać wykres potrzebujemy minimum dwóch punktów, które należy nanieść w układzie współrzędnych $p\left(V\right)$. Punkty te oznaczają stany przed i po przemianie.

Na wykresie dołączonym do zadania oznaczono stan początkowy gazu. Odczytujemy parametry stanu $1$:

$V_1=1{\text{m}}^3$

$p_1=4\cdot 10^5\text{Pa}$

Potrzebujemy jeszcze parametrów stanu $2$. Na podstawie treści zadania wiemy, że:

$V_2=8V_1$

Po podstawieniu:

$V_2=8\cdot 1{\text{m}}^3=8{\text{m}}^3$

Aby obliczyć ciśnienie w stanie $2$ wykorzystamy poniższe prawo.

PRAWO BOYLE'A-MARIOTTE'A Dla przemiany izotermicznej gazu doskonałego zgodnie z prawem Boyle'a - Mariotte'a prawdziwa jest równość: $pV=\text{const}$ gdzie: $p$ - ciśnienie gazu,  $V$ - objętość gazu.

Zatem prawdziwa jest równość:

$p_1{V}_1=p_2{V}_2$  

gdzie:

$p_1$  - ciśnienie gazu w pierwszym stanie, 

$p_2$  - ciśnienie gazu w drugim stanie, 

$V_1$  - objętość gazu w pierwszym stanie, 

$V_2$  - objętość gazu w drugim stanie. 

Przekształcamy powyższy wzór celem uzyskania zależności na ciśnienie w drugim stanie:

$p_2{V}_2=p_1{V}_1|:V_2$  

$p_2=p_1\cdot \frac{V_1}{V_2}$

Podstawiamy za $V_2$:

$p_2=p_1\cdot \frac{\cancel{V_1}}{8\cancel{V_1}}$

$p_2=\frac{1}{8}{p}_1$

Podstawiamy i obliczamy:

$p_2=\frac{1}{8}\cdot 4\cdot 10^5\text{Pa}=0,5\cdot 10^5\text{Pa}$

Pamiętamy, że gaz został poddany przemianie izotermicznej, zatem temperatura podczas przemiany jest stała. Zatem zgodnie z równaniem Clapeyrona ciśnienie jest odwrotnie proporcjonalne do objętości. Oznacza to, że wykresem zależności $p\left(V\right)$ będzie fragment hiperboli.

 Odpowiedź: 

Wykres zależności dla przemiany podanej w zadaniu będzie miał postać:

 

$\mathbf{b})$  

 Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest naszkicowanie wykresu zależności ciśnienia od objętości $p\left(V\right)$. 

Gaz sprężono do poprzedniej objętości. Następnie gaz ten ogrzano do temperatury dwa razy większej niż temperatura początkowa. Zatem początkowe parametry gazu mają postać:

$T_2=2T_1$  

$V_2=V_1$  

Aby wykonać wykres potrzebujemy minimum dwóch punktów, które należy nanieść w układzie współrzędnych $p\left(V\right)$. Punkty te oznaczają stany przed i po przemianie. Przed przeminą będzie to stan $2$ (Uwaga: ten stan to nie ten sam stan $2$ co w podpunkcie a) ), a po przemianie stan $3$.

RÓWNANIE CLAPEYRONA Dla gazu doskonałego jego parametry możemy opisać za pomocą równania Clapeyrona: $pV=nRT$ gdzie: $p$ - ciśnienie gazu,  $V$ - objętość gazu,  $n$ - liczba moli gazu,  $R$ - stała gazowa,  $T$ - temperatura gazu doskonałego.

Dla stanu $1$ przedstawionego na wykresie w zadaniu zapiszemy:

$p_1{V}_1=nR{T}_1|:V_1$

$p_1=\frac{nR{T}_1}{V_1}$

Dla staniu początkowego gazu opisanego w tym podpunkcie, czyli stanu $2$ zapiszemy:

$p_2{V}_2=nR{T}_2|:V_2$

$p_2=\frac{nR{T}_2}{V_2}$

$p_2=\frac{nR\cdot 2T_1}{V_1}$

$p_2=2\cdot \frac{nR{T}_1}{V_1}$

$p_2=2p_1$

Podstawiamy i obliczamy:

$p_2=2\cdot 4\cdot 10^5\text{Pa}=8\cdot 10^5\text{Pa}$

Następnie gaz ponownie poddano przemianie izotermicznej, w której objętość ośmiokrotnie wzrosła:

$V_3=8V_2$

Na podstawie treści zadania wiemy, że:

$V_2=V_1$

Zatem możemy zapisać:

$V_3=8V_1$

Obliczmy wartość końcowej objętości gazu poddawanego przemianie w tym podpunkcie:

$V_3=8\cdot 1{\text{m}}^3=8{\text{m}}^3$

 Zgodnie z prawem Boyle'a - Mariotte'a prawdziwa jest równość:

$p_3{V}_3=p_2{V}_2|:V_3$

$p_3=p_2\cdot \frac{V_2}{V_3}$

Rozpisujemy $p_2$, $V_2$ i $V_3$:

$p_3=2p_1\cdot \frac{\cancel{V_1}}{8\cancel{V_1}}$

$p_3=\frac{1}{4}{p}_1$

 Podstawiamy i obliczamy:

$p_3=\frac{1}{4}\cdot 4\cdot 10^5\text{Pa}=1\cdot 10^5\text{Pa}$

  Odpowiedź: 

Wykres zależności dla przemiany podanej w zadaniu będzie miał postać:

 

$\mathbf{c})$  

Szukane:

$T_1=?$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie temperatury gazu w stanie $1$.

Korzystamy z równania Clapeyrona:

$nR{T}_1=p_1{V}_1|:nR$

$T_1=\frac{p_1{V}_1}{nR}$

Podstawiamy dane podane w zadaniu oraz dane odczytane z wykresu:

$T_1=\frac{4\cdot 10^5\text{Pa}\cdot 1{\text{m}}^3}{100\cancel{\text{moli}}\cdot 8,31\frac{\text{J}}{\cancel{\text{mol}}\cdot \text{K}}}=$

$=\frac{4\cdot 10^5\text{Pa}\cdot {\text{m}}^3}{831\frac{\text{J}}{\text{K}}}=\frac{4\cdot 10^5\frac{\text{N}}{\cancel{{\text{m}}^2}}\cdot {\text{m}}^{\cancel{3}}}{831\frac{\text{J}}{\text{K}}}=$

$=\frac{400000\text{N}\cdot \text{m}}{831\frac{\text{J}}{\text{K}}}=\frac{400000\cancel{\text{J}}}{831\frac{\cancel{\text{J}}}{\text{K}}}\approx$

$\approx 481,34777\text{K}\approx 481\text{K}$

Odpowiedź: Temperatura gazu w stanie $1$ wynosi około $481\text{K}$.