Dane:

$k=25\%=0,25$  

$d=10\text{cm}$  

$\alpha ={50}^{\circ }$  

Szukane:

$h=?$  

Rozwiązanie: 

Szukamy głębokości, na jakiej znajduje się zwierciadło. Na rysunku dołączonym do zadania możemy oznaczyć kąt załamania światła:

Korzystając, z twierdzenia Pitagorasa możemy zauważyć, że:

$l^2={\left(\frac{1}{2}d\right)}^2+h^2\mid \sqrt{}$  

$l=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}d\right)}^2+h^2}$  

Wówczas sinus kąta załamania ma postać:

$\sin \beta =\frac{\frac{1}{2}d}{l}$  

$\sin \beta =\frac{\frac{1}{2}d}{\sqrt{{\left(\frac{1}{2}d\right)}^2+h^2}}$  

PRAWO ZAŁAMANIA Korzystając, z prawa załamania (prawo Snella) wiemy, że stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania jest dla dwóch danych ośrodków wielkością stałą, równą stosunkowi szybkości światła w tych ośrodkach i zwaną względnym współczynnikiem załamania ośrodka drugiego względem pierwszego: $\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{v_1}{v_2}=\frac{n_2}{n_1}$ gdzie: $\alpha$ - kąt padania, $\beta$ - kąt załamania, $v_1$ - szybkość światła w ośrodku padania, $v_2$ - szybkość światła w ośrodku, w którym światło ulega załamaniu, $n_1$ - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło pada, $n_2$ - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło się załamuje.

Zatem kąt załamania możemy przedstawić zależnością:

$\frac{v_1}{v_2}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }\mid \cdot v_2\sin \beta$  

$v_1\sin \beta =v_2\sin \alpha \mid :v_1$  

$\sin \beta =\frac{v_2}{v_1}\sin \alpha$  

Wartość prędkości światła w powietrzu będzie wynosiła:

$v_1=c$  

Natomiast wartość prędkości światła w wodzie będzie wynosiła:

$v_2=c-kc$  

$v_2=c\left(1-k\right)$  

Wówczas kąt załamania możemy obliczyć z zależności:

$\sin \beta =\frac{c\left(1-k\right)}{c}\sin \alpha$  

$\sin \beta =\left(1-k\right)\sin \alpha$  

Porównajmy oba wzory na wartość kąta załamania i wyznaczmy głębokość, na jakiej znajdowało się zwierciadło:

$\left(1-k\right)\sin \alpha =\frac{\frac{1}{2}d}{\sqrt{{\left(\frac{1}{2}d\right)}^2+h^2}}{\mid }^2$  

${\left(1-k\right)}^2{\sin }^2\alpha =\frac{{\left(\frac{1}{2}d\right)}^2}{{\left(\frac{1}{2}d\right)}^2+h^2}\mid \cdot \left({\left(\frac{1}{2}d\right)}^2+h^2\right)$  

$\left({\left(\frac{1}{2}d\right)}^2+h^2\right){\left(1-k\right)}^2{\sin }^2\alpha ={\left(\frac{1}{2}d\right)}^2$  

${\left(\frac{1}{2}d\right)}^2{\left(1-k\right)}^2{\sin }^2\alpha +h^2{\left(1-k\right)}^2{\sin }^2\alpha ={\left(\frac{1}{2}d\right)}^2\mid -{\left(\frac{1}{2}d\right)}^2{\left(1-k\right)}^2{\sin }^2\alpha$  

$h^2{\left(1-k\right)}^2{\sin }^2\alpha ={\left(\frac{1}{2}d\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}d\right)}^2{\left(1-k\right)}^2{\sin }^2\alpha$  

$h^2{\left(1-k\right)}^2{\sin }^2\alpha ={\left(\frac{1}{2}d\right)}^2\left(1-{\left(1-k\right)}^2{\sin }^2\alpha \right)\mid \sqrt{}$  

$h\left(1-k\right)\sin \alpha =\frac{1}{2}d\sqrt{1-{\left(1-k\right)}^2{\sin }^2\alpha }\mid :\left(1-k\right)\sin \alpha$  

$h=\frac{1}{2}d\frac{\sqrt{1-{\left(1-k\right)}^2{\sin }^2\alpha }}{\left(1-k\right)\sin \alpha }$  

$h=\frac{1}{2}d\frac{\sqrt{1-{\left(1-k\right)}^2{\sin }^2\alpha }}{\sqrt{{\left(1-k\right)}^2{\sin }^2\alpha }}$  

$h=d\sqrt{\frac{1}{2^2\cdot {\left(1-k\right)}^2{\sin }^2\alpha }-\frac{1}{4}}$  

$h=d\sqrt{{\left(\frac{1}{2\cdot \left(1-k\right)\sin \alpha }\right)}^2-\frac{1}{4}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$h=10\text{cm}\cdot \sqrt{{\left(\frac{1}{2\cdot \left(1-0,25\right)\cdot \sin {50}^{\circ }}\right)}^2-\frac{1}{4}}=10\text{cm}\cdot \sqrt{{\left(\frac{1}{2\cdot 0,75\cdot 0,766}\right)}^2-0,25}=$  

$=10\text{cm}\cdot \sqrt{{\left(\frac{1}{1,149}\right)}^2-0,25}\approx 10\text{cm}\cdot \sqrt{{\left(0,87\right)}^2-0,25}=$  

$=10\text{cm}\cdot \sqrt{0,7569-0,25}=10\text{cm}\cdot \sqrt{0,5069}\approx$  

$\approx 10\text{cm}\cdot 0,71=7,1\text{cm}$  

Odpowiedź: Zwierciadło leży na głębokości około $7,1\mathrm{cm}$.