Betonowe przęsło mostu w temperaturze 20ºC ma długość...- Zadanie 7.5.1.: NOWE Zrozumieć fizykę 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$T_{0} = 20^{\circ} C = 293 K$

$T_{1} = - 30^{\circ} C = 243 K$

$T_{2} = 44^{\circ} C = 317 K$

$l_{0} = 50 m$

$α = 14, 5 \cdot 10^{- 6} \frac{1}{K}$

Szukane:

$d = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie minimalnej szerokości przerw dylatacyjnych.

Wiemy, że w temperaturze $T_{0}$ przęsło mostu ma długość $l_{0}$ . Załóżmy, że w temperaturze $T_{1}$ przęsło będzie miało pewną długość $l_{1}$ .

Zmianę temperatury oraz długości przęsła zapiszemy jako:

$Δ T_{1} = T_{0} - T_{1}$

$Δ l_{1} = l_{0} - l_{1}$

ROZSZERZALNOŚĆ CIEPLNA

Współczynnik rozszerzalności liniowej ciała przedstawiamy zależnością:

$α = \frac{Δ l}{l _{0} Δ T}$

gdzie:

$α$ - współczynnik rozszerzalności liniowej,

$Δ l$ - zmiana długości,

$l_{0}$ - początkowa długość ciała,

$Δ T$ - zmiana temperatury ciała.

Powyższy wzór w naszym zadaniu przyjmie postać:

$α = \frac{Δ l _{1}}{l _{0} Δ T _{1}}$

gdzie:

$α$ - współczynnik rozszerzalności liniowej,

$Δ l_{1}$ - zmiana długości,

$l_{0}$ - początkowa długość ciała,

$Δ T_{1}$ - zmiana temperatury ciała.

Po rozpisaniu zmian temperatury i długości otrzymujemy:

$α = \frac{l _{0} - l _{1}}{l _{0} ( T _{0} - T _{1} )}$

Wyznaczmy długość przęsła w temperaturze $T_{1}$ :

$α = \frac{l _{0} - l _{1}}{l _{0} ( T _{0} - T _{1} )} ∣ \cdot l_{0} (T_{0} - T_{1})$

$α l_{0} (T_{0} - T_{1}) = l_{0} - l_{1} ∣ + l_{1}$

$l_{1} + α l_{0} (T_{0} - T_{1}) = l_{0} ∣ - α l_{0} (T_{0} - T_{1})$

$l_{1} = l_{0} - α l_{0} (T_{0} - T_{1})$

Wyciągamy $l_{0}$ przed nawias:

$l_{1} = l_{0} [1 - α (T_{0} - T_{1})]$

Analogicznie wyznaczamy długość przęsła w temperaturze $T_{2}$ . W tym przypadku zmiana temperatury oraz długości przęsła wynosi:

$Δ T_{2} = T_{2} - T_{0}$

$Δ l_{2} = l_{2} - l_{0}$

Wzór na współczynnik rozszerzalności liniowej przyjmie postać:

$α = \frac{Δ l _{2}}{l _{0} Δ T _{2}}$

gdzie:

$α$ - współczynnik rozszerzalności liniowej,

$Δ l_{2}$ - zmiana długości,

$l_{0}$ - początkowa długość ciała,

$Δ T_{2}$ - zmiana temperatury ciała.

$α = \frac{l _{2} - l _{0}}{l _{0} ( T _{2} - T _{0} )} ∣ \cdot l_{0} (T_{2} - T_{0})$

$α l_{0} (T_{2} - T_{0}) = l_{2} - l_{0}$

$α l_{0} (T_{2} - T_{0}) = l_{2} - l_{0} ∣ + l_{_{0}}$

$l_{0} + α l_{0} (T_{2} - T_{0}) = l_{2}$

Zamieniamy stronami i wyciągamy $l_{0}$ przed nawias:

$l_{2} = l_{0} [1 + α (T_{2} - T_{0})]$

Wówczas zmiana długości przęsła $Δ l$ między największą i najmniejszą możliwą temperaturą będzie wynosiła:

$Δ l = l_{2} - l_{1}$

$Δ l = l_{0} [1 + α (T_{2} - T_{0})] - l_{0} [1 - α (T_{0} - T_{1})]$

Wyciągamy $l_{0}$ przed nawias:

$Δ l = l_{0} [1 + α (T_{2} - T_{0}) - 1 + α (T_{0} - T_{1})]$

$Δ l = l_{0} [α (T_{2} - T_{0}) + α (T_{0} - T_{1})]$

Wyciągamy $α$ przed nawias:

$Δ l = l_{0} α [T_{2} - T_{0} + T_{0} - T_{1}]$

$Δ l = l_{0} α [T_{2} - T_{1}]$

Minimalna przerwa dylatacyjna między przęsłami mostu musi być przynajmniej równa (lub większa) zmianie długości przęsła wynikającej z różnicy temperatur:

$d \geq Δ l$

$d \geq l_{0} α [T_{2} - T_{1}]$

Podstawiamy i obliczamy:

$d \geq 50 m \cdot 14, 5 \cdot 10^{- 6} \frac{1}{K} \cdot [317 K - 243 K]$

$d \geq 50 m \cdot 14, 5 \cdot 10^{- 6} \frac{1}{K} \cdot 74 K$

$d \geq 53650 \cdot 10^{- 6} m$

$d \geq 0, 05365 m$

Po zaokrągleniu:

$d \geq 5, 4 cm$

Odpowiedź: Szerokość przerw dylatacyjnych powinna wynosić minimum około $5, 4 cm$ .

Anna Olchowy

Nauczycielka fizyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

1.6. Bryła sztywna

Premium

11:43

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

1.8. Drgania

Premium

16:04

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

1.4. Energia mechaniczna

Premium

12:36

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.