UWAGA! Odpowiedzi podane w książce zawierają błąd w wyniku liczbowym.

Dane:

${\lambda }_{\text{zˊr}}=486\text{nm}$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość prędkości światła w próżni: $c=3\cdot 10^8\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

 

 $\mathbf{a})$

Szukane:

$v=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie wartości prędkości galaktyki względem obserwatora. Z linii widmowych, które otrzymał obserwator i tych otrzymanych w laboratorium możemy odczytać przesunięcie, czyli różnicę w położeniu pomiędzy pikiem na widmie obserwatora i na widmie z laboratorium. 

Z linii dla obserwatora mamy dla najwyższego piku:

${\lambda }_{obs}=495\text{nm}$

Z linii dla widma laboratoryjnego mamy:

${\lambda }_{\text{zˊr}}=486\text{nm}$

Zauważmy, że widmo obserwatora przesunięte jest w prawo, czyli ku czerwieni i gwiazda oddala się od Ziemi. Prędkości gwiazd będą miały mniejsze wartości niż wartość prędkości światła, dlatego możemy skorzystać ze wzoru wynikającego z efektu Dopplera na długość fali odbieranej przez obserwatora w postaci:

${\lambda }_{obs}={\lambda }_{\text{zˊr}}\left(1\pm \frac{v}{c}\right)$

gdzie:

${\lambda }_{obs}$ - długość fali odbieranej przez obserwatora, 

${\lambda }_{\text{zˊr}}$ - długość fali wysyłanej przez źródło w spoczynku (w laboratorium), 

$v$ - wartość prędkości względnej źródła światła i obserwatora, 

$c$ - wartość prędkości światła w próżni. 

Znak plus " + " mamy, gdy źródło oddala się od obserwatora, a znak minus " - ", gdy źródło zbliża się do obserwatora. 

Zatem dla naszego przypadku mamy:

${\lambda }_{obs}={\lambda }_{\text{zˊr}}\left(1+\frac{v}{c}\right)|:{\lambda }_{\text{zˊr}}$

$\frac{{\lambda }_{obs}}{{\lambda }_{\text{zˊr}}}=1+\frac{v}{c}|-1$

$\frac{{\lambda }_{obs}}{{\lambda }_{\text{zˊr}}}-1=\frac{v}{c}$

$\frac{v}{c}=\frac{{\lambda }_{obs}}{{\lambda }_{\text{zˊr}}}-1|\cdot c$

$v=\left(\frac{{\lambda }_{obs}}{{\lambda }_{\text{zˊr}}}-1\right)c$

Obliczamy:

$v=\left(\frac{495\cancel{\text{nm}}}{486\cancel{\text{nm}}}-1\right)\cdot 3\cdot 10^8\frac{\text{m}}{\text{s}}\approx$

$\approx \left(1,0185-1\right)\cdot 3\cdot 10^8\frac{\text{m}}{\text{s}}=$

$=0,0185\cdot 3\cdot 10^8\frac{\text{m}}{\text{s}}=$

$=0,0555\cdot 10^8\frac{\text{m}}{\text{s}}=5550\cdot 10^3\frac{\text{m}}{\text{s}}=$

$=5550\frac{\text{km}}{\text{s}}$

Odpowiedź: Wartość prędkości galaktyki względem obserwatora wynosi około $5550\frac{\text{km}}{\text{s}}$.

 

$\mathbf{b})$

1. Zdanie jest PRAWDZIWE, ponieważ częstotliwość wysyłana przez galaktykę odpowiada znanej linii widmowej wodoru, więc ma wartość typową dla światła nieprzesuniętego.

2. Zdanie jest PRAWDZIWE, ponieważ odebrana częstotliwość jest mniejsza niż wysłana, co oznacza przesunięcie ku czerwieni, a to świadczy o oddalaniu się galaktyki od obserwatora.