UWAGA! W tym zadaniu odpowiedź podawana w książce zawiera błędy.

Dane:

$f=800\text{Hz}$

$\Delta f=40\text{Hz}$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość prędkości dźwięku w powietrzu: $v_d=340\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

Szukane:

$v_j=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie wartości prędkości, z jaką pikował jastrząb. Z treści zadania wiemy, że turyści zarejestrowali dźwięk wyższy od dźwięku wydawanego przez jastrzębia:

$\Delta f=f^{\prime }-f$

gdzie:

$\Delta f$ - różnica częstotliwości o jaką wyższy jest dźwięk zarejestrowany przez turystów, 

$f^{\prime }$ - częstotliwość dźwięku zarejestrowanego przez turystów, 

$f$ - częstotliwość dźwięku wydawanego przez jastrzębia.

ZJAWISKO DOPPLERA Zjawisko polegające na powstawaniu różnicy częstotliwości wysyłanej przez źródło oraz rejestrowanej przez obserwatora nazywamy efektem Dopplera. Wzór opisujący tę zależność ma postać: $f=f_0\frac{v\pm v_{\text{o}}}{v\mp v_{\text{zˊ}}}$ gdzie:  $f$ - częstotliwość fali odbieranej przez obserwatora,  $f_0$ - częstotliwość fali wysyłanej przez źródło,   $v$ - szybkość fali (w danym ośrodku),   $v_{\text{o}}$ - szybkość, z jaką zbliża (+) / oddala (-) się obserwator do źródła,   $v_{\text{zˊ}}$ - szybkość, z jaką zbliża (-) / oddala (+) się źródło do obserwatora. Prędkości źródła i obserwatora są określane względem ośrodka. Górne znaki prędkości we wzorach oznaczają przypadek, gdy są one skierowane ku sobie, a dolne dotyczą sytuacji, w której mają odwrotne zwroty.

W naszym przypadku źródłem dźwięku jest pikujący jastrząb zbliżający się do nieruchomych turystów (obserwatorzy), czyli:

$v_o=0$

$v_{\text{zˊ}}=v_j$

gdzie:

$v_j$ - wartość prędkości jastrzębia. 

Stąd wynika, że częstotliwość dźwięku odbieranego przez turystów ma postać:

$f^{\prime }=f\cdot \frac{v}{v-v_j}$

Zatem z różnicy częstotliwości i wzoru wynikającego z efektu Dopplera otrzymamy, że wartość prędkości jastrzębia ma postać:

$\Delta f=f^{\prime }-f$

$\Delta f=f\cdot \frac{v}{v-v_j}-f$

$\Delta f=f\left(\frac{v}{v-v_j}-1\right)$

$\Delta f=f\left(\frac{v}{v-v_j}-\frac{v-v_j}{v-v_j}\right)$

$\Delta f=f\cdot \frac{v-v+v_j}{v-v_j}$

$\Delta f=f\cdot \frac{v_j}{v-v_j}|\cdot \left(v-v_j\right)$

$\Delta f\left(v-v_j\right)=f{v}_j$

$\Delta fv-\Delta f{v}_j=f{v}_j|+\Delta f{v}_j$

$\Delta fv=f{v}_j+\Delta f{v}_j$

$\Delta fv=\left(f+\Delta f\right)v_j|:\left(f+\Delta f\right)$

$\frac{\Delta f}{f+\Delta f}\cdot v=v_j$

$v_j=\frac{\Delta f}{f+\Delta f}\cdot v$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_j=\frac{40\text{Hz}}{800\text{Hz}+40\text{Hz}}\cdot 340\frac{\text{m}}{\text{s}}=$

$=\frac{40\cancel{\text{Hz}}}{840\cancel{\text{Hz}}}\cdot 340\frac{\text{m}}{\text{s}}=\frac{1}{21}\cdot 340\frac{\text{m}}{\text{s}}=$

$=\frac{340}{21}\frac{\text{m}}{\text{s}}\approx 16,19\frac{\text{m}}{\text{s}}$

 

Otrzymany wynik znajduje się najbliżej odpowiedzi C. Jednak to nie powinna być liczbowa odpowiedź do tego zadania!

 

Odpowiedź: Prędkość, z jaką pikował jastrząb ma wartość:

C. $17\frac{\text{m}}{\text{s}}$.