UWAGA! Błąd w odpowiedziach. W odpowiedziach do zadań w podręczniku podaną złą wartość wychylenia. Błąd wynika z niepoprawnego umieszczenia przecinka.

 

Dane:

$m=40\text{kg}$  

$T=5\text{s}$  

$A=1\text{m}$  

$h=7\text{cm}=0,07\text{m}$  

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

Szukane:

$x=?$

$v=?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest wyznaczenie położenia oraz szybkości dziecka huśtającego się na linie. Wiemy, że energia potencjalna grawitacji jest dana wzorem:

ENERGIA POTENCJALNA PRZY POWIERZCHNI ZIEMI Energię potencjalną ciała w jednorodnym polu grawitacyjnym w pewnej odległości od poziomu przyjętego za początkowy przedstawiamy za pomocą wzoru: $E_p=mgh$  gdzie: $E_p$  - energia potencjalna ciała, $m$ - masa ciała,  $g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego, $h$ - wysokość ciała nad poziomem przyjętym za początkowy.

Z zadania 10.5.21. wiemy, że zależność energii potencjalnej od wychylenia jest dana zależnością:

$E_p=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$

gdzie:

$\omega$ - częstość drgań,

$x$ - wychylenie z położenia równowagi.

$mgh=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać wzór na położenie:

$mgh=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2|:m$

$gh=\frac{1}{2}{\omega }^2{x}^2|\cdot 2$

$2gh={\omega }^2{x}^2|:{\omega }^2$

$\frac{2gh}{{\omega }^2}=x^2$

$x^2=\frac{2gh}{{\omega }^2}$

Bierzemy pierwiastek z obu stron równania:

$x=\sqrt{\frac{2gh}{{\omega }^2}}$

$x=\frac{\sqrt{2gh}}{\omega }$

Nieznana jest częstość drgań dziecka na linie, jednak wiemy, że ta wielkość jest związana z okresem zależnością:

CZĘSTOŚĆ KOŁOWA DRGAŃ Częstość kołową drgań wyrażamy jako: $\omega =\frac{2\pi }{T}$ gdzie: $\omega$ - częstość kołowa drgań, $\pi$ - liczba π, $T$ - okres drgań.

Podstawiając to do otrzymanego przez nas wzoru na wychylenie:

$x=\frac{\sqrt{2gh}}{\frac{2\pi }{T}}$

$x=\frac{T}{2\pi }\sqrt{2gh}$

$x=\frac{T}{\pi }\sqrt{\frac{gh}{2}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$x=\frac{5\text{s}}{3,14}\cdot \sqrt{\frac{10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,07\text{m}}{2}}\approx$  

$\approx 1,592\text{s}\cdot \sqrt{\frac{0,7\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}{2}}=$

$=1,592\text{s}\cdot \sqrt{0,35\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}=$

$=1,592\cancel{\text{s}}\cdot 0,592\frac{\text{m}}{\cancel{\text{s}}}=0,942464\text{m}\approx$

$\approx 0,942\text{m}$

ENERGIA KINETYCZNA Energię kinetyczną ciała obliczyć możemy za pomocą wzoru: $E_k=\frac{m{v}^2}{2}$ gdzie: $E_k$ - energia kinetyczna ciała,  $m$ - masa ciała,  $v$ - wartość prędkości, z jaką ciało się porusza.

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać wzór 

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}\mid \cdot 2$

$2E_k=m{v}^2|:m$

$\frac{2E_k}{m}=v^2$  

$v^2=\frac{2E_k}{m}$

Bierzemy pierwiastek z obu stron równania i otrzymujemy: 

$v=\sqrt{\frac{2E_k}{m}}$  

Wiemy, że podczas swojego ruchu wahadło ma dwa rodzaje energii - kinetyczną oraz potencjalną. Ich suma, czyli energia całkowita zgodnie z zasadą zachowania energii ma ona stałą wartość. Możemy zapisać to w postaci równania:

$E_c=E_k+E_p$

gdzie:

$E_c$ - energia całkowita.

Przekształcając powyższe równanie dostaniemy wzór na energię kinetyczną:

$E_c=E_k+E_p|-E_p$

$E_c-E_p=E_k$

$E_k=E_c-E_p$

Podstawiając powyższą zależność do wzoru na szybkość dostajemy:

$v=\sqrt{\frac{2\left(E_c-E_p\right)}{m}}$

Wiemy, że gdy wahadło przechodzi przez położenie równowagi, posiada jedynie energię kinetyczną, czyli:

$E_c=E_{k\max }$

gdzie:

$E_{k\max }$ - maksymalna energia kinetyczna.

Wzór dla tej wielkości ma postać:

$E_{k\max }=\frac{m{v}_{\max }^2}{2}$

gdzie:

$v_{\max }$ - maksymalna wartość prędkości.

Czyli możemy zapisać:

$E_c=\frac{m{v}_{\max }^2}{2}$

Wiemy, że maksymalna szybkość w ruchu drgającym jest dana wzorem:

RUCH DRGAJĄCY - MAKSYMALNA WARTOŚĆ PRĘDKOŚCI W ruchu drgającym wartość prędkości ciała jest maksymalna, gdy znajduje się ono w położeniu równowagi. Wówczas zgodnie z zależnością wartości prędkości od czasu, w tym położeniu kosinus kąta przyjmuje największą wartość, czyli $1$, a maksymalna wartość prędkości ma wówczas postać: $v_{\max }=A\omega$ gdzie:  $v_{\max }$ - maksymalna wartość prędkości (wartość prędkości w położeniu równowagi), $A$ - amplituda,   $\omega$ - częstość drgań.

Podstawiając to do wzoru na energię całkowitą:

$E_c=\frac{m{\left(A\omega \right)}^2}{2}$

$E_c=\frac{m{\left(A\frac{2\pi }{T}\right)}^2}{2}$

Podstawiając ten wzór oraz wzór na energię potencjalną związaną z wysokością do otrzymanego przez nas wzoru na szybkość dostajemy:

$v=\sqrt{\frac{2\left(\frac{m{\left(A\frac{2\pi }{T}\right)}^2}{2}-mgh\right)}{m}}$

$v=\sqrt{{\left(A\frac{2\pi }{T}\right)}^2-2gh}$

Podstawiając wartości liczbowe dostajemy:

$v=\sqrt{{\left(1\text{m}\cdot \frac{2\cdot 3,14}{5\text{s}}\right)}^2-2\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,07\text{m}}=$

$=\sqrt{{\left(1,256\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2-1,4\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}\approx$

$\approx \sqrt{1,578\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}-1,4\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}=$

$=\sqrt{0,178\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}\approx 0,42\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Odpowiedź: Wychylenia dla rozważanej przez nas wysokości wynosi $0,932\text{m}$, a szybkość $0,42\frac{\text{m}}{\text{s}}$.