Dane:

$M=200\text{g}=0,2\text{kg}$  

$R=10\text{cm}=0,1\text{m}$  

$m_1=m_2=m=300\text{g}=0,3\text{kg}$  

$a=1,25\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

Szukane:

$m_x=?$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie masy doczepionego ciężarka. Zacznijmy od zaznaczenia sił działających na poruszający się układ ciężarków i blok:

gdzie: 

${\vec{F}}_{c.1}$ , ${\vec{F}}_{c.2}$  i ${\vec{F}}_{c.x}$  - siły ciężkości dla poszczególnych ciężarków,

${\vec{F}}_{N.1}$  i ${\vec{F}}_{N.2}$  - siły naciągu nici,

$m_1,m_2,m_x$ - masy poszczególnych ciężarków.

$M$ - masa bloczka,

$R$ - promień bloczka.

WARTOŚĆ SIŁY CIĘŻKOŚCI Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru: $F_c=mg$  gdzie: $F_c$ - wartość siły ciężkości, $m$ - masa ciała,  $g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Zauważmy, że wartości siły ciężkości będą miały postać:

$F_{c.1}=m_{1}g$, czyli: $F_{c.1}=mg$  

$F_{c.2}=m_{2}g$, czyli: $F_{c.2}=mg$  

$F_{c.x}=m_{x}g$

Moment sił naciągu będzie powodował obrót bloczka.

WARTOŚĆ MOMENTU SIŁY Wartość momentu siły obracającej się bryły sztywnej dla przypadku, gdy siła jest prostopadła do ramienia odległości od osi obrotu, możemy przedstawić wzorem: $M=rF$ gdzie: $M$ - wartość momentu siły bryły sztywnej, $F$ - wartość siły działającej na bryłę sztywną, $r$ - odległość od osi obrotu bryły (długość ramienia siły).

Zauważmy, że siły naciągu są prostopadłe do wektorów ich odległości od osi obrotu. Zatem wartości momentów sił wynoszą:

$M_1=R{F}_{N.1}$  

$M_2=R{F}_{N.2}$  

Ponieważ siły naciągu nici powodują obrót bloczka w przeciwne strony, to wartość wypadkowego momenty siły wynosi:

$M_w=M_2-M_1$  

$M_w=R{F}_{N.2}-R{F}_{N.1}$  

$M_w=R\left(F_{N.2}-F_{N.1}\right)$  

II ZASADA DYNAMIKI DLA RUCHU OBROTOWEGO Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego otrzymujemy: $I\epsilon =M$ gdzie: $I$ - moment bezwładności układu bryły sztywnej wykonującej ruch obrotowy,  $\epsilon$ - wartość przyspieszenia kątowego bryły sztywnej,  $M$ - wartość wypadkowego momentu sił działających na układ.

Otrzymujemy, że:

$M_w=I\epsilon$  

Skorzystamy z:

WARTOŚĆ PRZYSPIESZENIA KĄTOWEGO A LINIOWEGO Przyspieszenie kątowe w zależności od przyspieszenia liniowego przedstawiamy wzorem: $\epsilon =\frac{a}{r}$ gdzie: $\epsilon$ - wartość przyspieszenia kątowego,  $a$ - wartość przyspieszenia liniowego,  $r$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało.

W naszym przypadku zapiszemy:

$\epsilon =\frac{a}{R}$  

Podane mamy, że moment bezwładności bloczka wynosi:

$I=\frac{1}{2}M{R}^2$  

gdzie:

$I$ - moment bezwładności bloczka.

Wówczas otrzymujemy równanie:

$M_w=I\epsilon$  

$R\left(F_{N.2}-F_{N.1}\right)=\frac{1}{2}M{R}^2\frac{a}{R}$  

$R\left(F_{N.2}-F_{N.1}\right)=\frac{1}{2}MRa\mid :R$  

$F_{N.2}-F_{N.1}=\frac{1}{2}Ma$  

Korzystając z II zasady dynamiki dla ruchu postępowego, otrzymujemy, że:

$\{\begin{array}{l}{F}_{c.x}+F_{c.2}-F_{N.2}=\left(m_2+m_x\right)a\\ F_{N.1}-F_{c.1}=m_{1}a\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{m}_{x}g+mg-F_{N.2}=\left(m+m_x\right)a\\ F_{N.1}-mg=ma\end{array}$

Dodajemy powyższe równania stronami:

$m_{x}g+mg-F_{N.2}+F_{N.1}-mg=\left(m+m_x\right)a+ma$  

$m_{x}g+mg\underset{-\frac{1}{2}Ma}{\underbrace{-F_{N.2}+F_{N.1}}}-mg=\left(m+m+m_x\right)a$  

$m_{x}g+\underline{mg}-\frac{1}{2}Ma-\underline{mg}=\left(2m+m_x\right)a$  

$m_{x}g-\frac{1}{2}Ma=2ma+m_{x}a\mid -m_{x}a+\frac{1}{2}Ma$  

$m_{x}g-m_{x}a=2ma+\frac{1}{2}Ma$  

$m_x\left(g-a\right)=\left(2m+\frac{1}{2}M\right)a\mid :\left(g-a\right)$  

$m_x=\frac{\left(2m+\frac{1}{2}M\right)a}{g-a}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$m_x=\frac{\left(2\cdot 0,3\text{kg}+\frac{1}{2}\cdot 0,2\text{kg}\right)\cdot 1,25\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}-1,25\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=$  

$=\frac{\left(0,6\text{kg}+0,1\text{kg}\right)\cdot 1,25\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{8,75\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=$  

$=\frac{0,7\text{kg}\cdot 1,25\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{8,75\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=\frac{0,625\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{8,75\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=$  

$=\frac{0,875\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{8,75\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=0,1\text{kg}=100\text{g}$  

Odpowiedź: Masa doczepionego ciężarka wynosi $100\mathrm{g}$.