Koło zamachowe o momencie...- Zadanie 9.5.9.: NOWE Zrozumieć fizykę 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$I_{0} = 110 kg \cdot m^{2}$

$R = 40 cm = 0, 4 m$

$ω = 95 \frac{1}{s}$

$Δ t = 14 s$

$μ = 0, 5$

Szukane:

$F_{N} = ?$

Rozwiązanie:

Chcemy wyznaczyć siłę, z jaką należy dociskać klocek hamulcowy, aby odpowiednio zatrzymać koło zamachowe. Musimy nadać kołu odpowiednie opóźnienie kątowe.

WARTOŚĆ PRZYSPIESZENIA KĄTOWEGO

Poprzez analogie do ruchu postępowego wartość przyspieszenia kątowego zgodnie z definicją przyspieszenia możemy przedstawić zależnością:

$ε = \frac{Δ ω}{Δ t}$

gdzie:

$ε$ - wartość przyspieszenia kątowego,

$Δ ω$ - zmiana szybkości kątowej ciała,

$Δ t$ - czas, w jakim ta zmiana następuje.

Bezwzględną zmianę szybkości kątowej wyrazimy jako:

$Δ ω = ω - ω_{k}$

gdzie:

$ω$ - początkowa szybkość kątowa,

$ω_{k}$ - końcowa szybkość kątowa.

Koło zamachowe zatrzymuje się, więc:

$ω_{k} = 0$

Otrzymujemy:

$Δ ω = ω - 0$

$Δ ω = ω$

Stąd:

$ε = \frac{ω}{Δ t}$

Skorzystamy z:

II ZASADA DYNAMIKI DLA RUCHU OBROTOWEGO

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego otrzymujemy:

$I ε = M$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności układu bryły sztywnej wykonującej ruch obrotowy,

$ε$ - wartość przyspieszenia kątowego bryły sztywnej,

$M$ - wartość wypadkowego momentu sił działających na układ.

W naszym przypadku uwzględniamy moment siły tarcia i moment bezwładności koła.

$I_{0} ε = M_{t}$

gdzie:

$I_{0}$ - moment bezwładności koła zamachowego,

$M_{t}$ - moment siły tarcia.

Zatem:

$I_{0} \frac{ω}{Δ t} = M_{t}$

$M_{t} = \frac{I _{0} ω}{Δ t}$

Wyrażamy odpowiednio wartość momentu siły tarcia.

WARTOŚĆ MOMENTU SIŁY

Wartość momentu siły obracającej się bryły sztywnej dla przypadku, gdy siła jest prostopadła do ramienia odległości od osi obrotu, możemy przedstawić wzorem:

$M = r F$

gdzie:

$M$ - wartość momentu siły bryły sztywnej,

$F$ - wartość siły działającej na bryłę sztywną,

$r$ - odległość od osi obrotu bryły (długość ramienia siły).

W naszym przypadku zapiszemy:

$M_{t} = R T$

gdzie:

$R$ - promień koła,

$T$ - wartość siły tarcia.

Wartość siły tarcia wyrazimy jako:

WARTOŚĆ SIŁY TARCIA KINETYCZNEGO

Siła tarcia kinetycznego działa na ciało będące w ruchu, zwrócona jest przeciwnie do wektora prędkości, a jej wartość możemy wyrazić wzorem:

$T = μ F_{N}$

gdzie:

$T$ - wartość siły tarcia kinetycznego,

$μ$ - współczynnik tarcia kinetycznego,

$F_{N}$ - wartość siły nacisku ciała na podłoże.

Stąd:

$M_{t} = R μ F_{N}$

Wracamy do początkowo wyprowadzonego wyrażania:

$M_{t} = \frac{I _{0} ω}{Δ t}$

Łączymy oba wzory:

$R μ F_{N} = \frac{I _{0} ω}{Δ t} ∣ : R μ$

Wyznaczamy zależność na siłę, z jaką należy dociskać klocek hamulcowy.

$F_{N} = \frac{I _{0} ω}{Δ t R μ}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru.

$F_{N} = \frac{110 kg \cdot m ^{2} \cdot 95 \frac{1}{s}}{14 s \cdot 0 , 4 m \cdot 0 , 5} = \frac{10450 kg \cdot \frac{m ^{2^{1}}}{s}}{2 , 8 m \cdot s} \approx 3732 kg \cdot \frac{m}{s ^{2}} = 3732 N$