Na każdej z grzałek...- Zadanie 7: NOWE Odkryć fizykę 2. Karty pracy ucznia zakres podstawowy

Rozwiązanie

Szukane:

Brakujące napięcia i natężenia w tabeli.

Rozwiązanie:

Naszym celem jest obliczenie brakujących wartości natężenia i napięcia na poszczególnych miernikach. Wiemy, że grzałki spełniają prawo Ohma:

PRAWO OHMA

Zgodnie z prawem Ohma natężenie prądu płynącego w przewodniku jest wprost proporcjonalne do napięcia przyłożonego do końców tego przewodnika. Wówczas natężenie prądu płynącego w przewodniku (lub urządzeniu) możemy przedstawić wzorem:

$I = \frac{U}{R}$

gdzie:

$I$ - natężenie prądy płynącego w obwodzie,

$U$ - napięcie, do jakiego podłączono urządzenie lub przewód,

$R$ - opór elektryczny urządzenia/przewodu.

Jeśli znamy napięcie i natężenie na grzałce możemy obliczyć opór tych grzałek.

Przyjrzyjmy się danym z tabeli:

Natężenie prądu (mA)			Napięcie (V)
amperomierz $A_{1}$	amperomierz $A_{2}$	amperomierz $A_{3}$	woltomierz $V_{1}$	woltomierz $V_{2}$
5		15	0,25	1,5
	20	30
	50		1,25
40				12
60		180		18

W pierwszym wierszu musimy obliczyć jedynie natężenie prądu mierzone przez amperomierz $A_{2}$ . Ze schematu wynika, że grzałki są połączone równolegle, a przy każdej z nich znajduje się amperomierz $A_{3}$ , który jest podłączony bezpośrednio do węzła, dlatego brakującą wartość natężenia możemy obliczyć, korzystając z pierwszego prawa Kirchhoffa:

I PRAWO KIRCHHOFFA

Suma natężeń prądów wpływających do węzła obwodu elektrycznego, jest równa sumie natężeń prądów wypływających z tego węzła.

$i = 1 \sum n I_{i} = k = 1 \sum m I_{k}$

gdzie:

$I_{i}$ - natężenie i-tego prądu wpływającego do węzła,

$I_{k}$ - natężenie k-tego prądu wypływającego z węzła.

Bez straty ogólności naszego rozwiązania możemy przyjąć, że prąd płynie od prawej do lewej. Wówczas do węzła wpływają prądy, które płynęły przez amperomierze $A_{1}$ i $A_{2}$ . Prąd następnie wypływa z węzła i trafia do amperomierza $A_{3}$ . W związku z tym dla naszego przypadku możemy zapisać prawo Kirchhoffa w postaci:

$I_{1} + I_{2} = I_{3}$

gdzie:

$I_{1}$ - natężenie prądu płynącego przez $A_{1}$ ,

$I_{2}$ - natężenie prądu płynącego przez $A_{2}$ ,

$I_{3}$ - natężenie prądu płynącego przez $A_{3}$ .

Na podstawie tego równania możemy obliczyć brakujące wartości natężenia prądu w pierwszym, drugim oraz piątym wierszu tabeli. W pierwszym wierszu brakuje natężenia prądu zmierzonego przez amperomierz $A_{2}$ , więc przekształcamy powyższe równanie tak, aby wyznaczyć tę wartość:

$I_{1} + I_{2} = I_{3} ∣ - I_{1}$

$I_{2} = I_{3} - I_{1}$

Podstawiając wartości z pierwszego wiersza:

$I_{2} = 15 mA - 5 mA = 10 mA$

Ten sam wzór możemy zastosować do piątego wiersza i po podstawieniu wartości liczbowych:

$I_{2} = 180 mA - 60 mA = 120 mA$

W drugim wierszu brakuje nam natężenia prądu płynącego przez pierwszy amperomierz, więc przekształcamy równanie otrzymane z pierwszego prawa Kirchhoffa:

$I_{1} + I_{2} = I_{3} ∣ - I_{2}$

$I_{1} = I_{3} - I_{2}$

Podstawiamy wartości liczbowe:

$I_{1} = 30 mA - 20 mA = 10 mA$

W wierszu trzecim i czwartym brakuje zbyt wielu wartości natężeń, aby zastosować prawo Kirchhoffa. Natomiast w pierwszym wierszu mamy komplet danych, dlatego możemy obliczyć opory elektryczne poszczególnych grzałek, korzystając z prawa Ohma. Na podstawie tych oporów później wyznaczymy brakujące napięcia i natężenia prądu. W tym celu przekształcamy prawo Ohma, zapisując wzór na opór elektryczny:

$I = \frac{U}{R} ∣ \cdot R$

$R I = U ∣ : I$

$R = \frac{U}{I}$

Dla poszczególnych grzałek możemy zapisać:

$R_{1} = \frac{U _{1}}{I _{1}}$ oraz $R_{2} = \frac{U _{2}}{I _{2}}$

gdzie:

$R_{1}$ - opór spirali pierwszej grzałki,

$R_{2}$ - opór spirali drugiej grzałki,

$U_{1}$ - napięcie elektryczne wskazane przez woltomierz $V_{1}$ ,

$U_{2}$ - napięcie elektryczne wskazane przez woltomierz $V_{2}$ ,

$I_{1}$ - natężenie prądu elektrycznego wskazane przez amperomierz $A_{1}$ ,

$I_{2}$ - natężenie prądu elektrycznego wskazane przez amperomierz $A_{2}$ .

Do otrzymanych równań podstawiamy wartości z pierwszego wiersza tabeli oraz natężenia obliczonego z pierwszego prawa Kirchhoffa:

$R_{1} = \frac{0 , 25 V}{5 mA} = \frac{0 , 25 V}{0 , 005 A} = 50 Ω$

$R_{2} = \frac{1 , 5 V}{10 mA} = \frac{1 , 5 V}{0 , 01 A} = 150 Ω$

Teraz zajmijmy się drugim wierszem. Znamy już wszystkie wartości natężenia, więc musimy jedynie przekształcić wzór na natężenie prądu wynikający z prawa Ohma tak, abyśmy mieli wzór na napięcie elektryczne:

$I = \frac{U}{R} ∣ \cdot R$

$I R = U$

$U = I R$

Dla poszczególnych woltomierzy możemy zapisać wzory:

$U_{1} = I_{1} R_{1}$ oraz $U_{2} = I_{2} R_{2}$

Podstawiając wartości do tych wzorów dostajemy:

$U_{1} = 10 mA \cdot 50 Ω = 0, 01 A \cdot 50 Ω =$

$U_{1} = 0, 5 V$

$U_{2} = 20 mA \cdot 150 Ω = 0, 02 A \cdot 150 Ω =$

$U_{2} = 3 V$

W trzecim wierszu brakuje nam napięcia woltomierza $V_{2}$ oraz natężenia $A_{1}$ i $A_{3}$ . Natężenie prądu płynącego przez amperomierz $A_{1}$ oraz napięcie elektryczne odczytane przez woltomierz $V_{2}$ . W związku z tym stosujemy wzór na natężenie prądu wynikający z prawa Ohma:

$I_{1} = \frac{U _{1}}{R _{1}}$

Podstawiamy wartości liczbowe:

$I_{1} = \frac{1 , 25 V}{50 Ω} = 0, 025 A = 25 mA$

Napięcie obliczamy z wyprowadzonego przez nas wzoru na napięcie elektryczne wskazane przez woltomierz $V_{2}$ i podstawiamy do niego wartość oporu elektrycznego drugiej spirali oraz natężenie prądu z tabeli:

$U_{2} = 50 mA \cdot 150 Ω = 0, 05 A \cdot 150 Ω =$

$U_{2} = 7, 5 V$

Znamy natężenie prądów wpływających do węzła, więc możemy obliczyć natężenie prądu wskazane przez amperomierz $A_{3}$ . Zapisujemy wzór otrzymany z pierwszego prawa Kirchhoffa tak, abyśmy mogli obliczyć natężenie prądu wypływającego z węzła:

$I_{1} + I_{2} = I_{3}$

$I_{3} = I_{2} + I_{1}$

Podstawiamy wartości:

$I_{3} = 25 mA + 50 mA = 75 mA$

W czwartym wierszu tabeli brakuje nam wskazań amperomierzy $A_{2}$ oraz $A_{3}$ , a także woltomierza $V_{1}$ . Postępujemy analogicznie jak w przypadku poprzedniego wiersza. Napięcie wskazane przez woltomierz obliczamy ze wzoru na napięcie wskazane przez woltomierz $V_{1}$ :

$U_{1} = 40 mA \cdot 50 Ω = 0, 04 A \cdot 50 Ω =$

$U_{1} = 2 V$

Natężenie prądu wskazywane przez amperomierz $A_{2}$ obliczamy, korzystając z prawa Ohma, czyli ze wzoru na natężenie:

$I_{2} = \frac{12 V}{150 Ω} = 0, 08 A = 80 mA$

Aby obliczyć natężenie prądu mierzone przez amperomierz $A_{3}$ , musimy skorzystać ze wzoru na tę wielkość, który otrzymaliśmy z pierwszego prawa Kirchhoffa:

$I_{3} = 80 mA + 40 mA = 120 mA$

W piątym wierszu brakujące natężenie prądu zostało już obliczone, dlatego teraz wystarczy wyznaczyć brakujące napięcie, korzystając ze wzoru wynikającego z prawa Ohma:

$U_{1} = 60 mA \cdot 50 Ω = 0, 06 A \cdot 50 Ω =$

$U_{1} = 3 V$

Korzystając z tych informacji możemy uzupełnić tabelę.

Odpowiedź:

Natężenie prądu (mA)			Napięcie (V)
amperomierz $A_{1}$	amperomierz $A_{2}$	amperomierz $A_{3}$	woltomierz $V_{1}$	woltomierz $V_{2}$
5	10	15	0,25	1,5
10	20	30	0,5	3
25	50	75	1,25	7,5
40	80	120	2	12
60	120	180	3	18