Dane:

$d_1=6,13\text{m}$

$d_2=6,63\text{m}$

 

$\mathbf{a})$

Dane:

$\lambda =10\text{cm}=0,1\text{m}$

Szukane:

Czy obserwator stwierdzi wzmocnienie fali, czy jej wygaszenie?

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie, czy obserwator stwierdzi wzmocnienie fali, czy jej wygaszenie, gdy emitowana jest przez dwa głośniki.

Narysujmy najpierw schemat tej sytuacji zachowując skalę w odległościach:

gdzie:

$d_1$ - odległość pierwszego głośnika od obserwatora,

$d_2$ - odległość drugiego głośnika od obserwatora.

zielony punkt - środek ciężkości obserwatora.

niebieskie łuki - fale emitowane przez pierwszy głośnik,

czerwone łuki - fale emitowane przez drugi głośnik.

Widzimy, że fale emitowane przez oba głośniki się przecinają. W tych punktach powstaje wzmocnienie lub wygaszenie fali. 

WZMOCNIENIE FALI W przypadku wzmocnienia fali spełniona jest zależność: $\sin \theta =\frac{n\lambda }{d}$ gdzie:  $\theta$ - kąt, przy jakim następuje wzmocnienie fali,  $d$ - odległość pomiędzy źródłami fali,   $\lambda$ - długość fali,   $n=0,1,2,3,\dots$ - rząd wzmocnienia (liczby naturalne).

 

WYGASZENIE FALI W przypadku wygaszenia fali spełniona jest zależność: $\sin \theta =\left(n+\frac{1}{2}\right)\frac{\lambda }{d}$ gdzie: $\theta$ - kąt, przy jakim następuje wygaszenie fali,  $d$ - odległość pomiędzy źródłami fali,   $\lambda$ - długość fali,   $n=0,1,2,3,\dots$ - rząd wygaszenia (liczby naturalne).

W przypadku wygaszenia fali przyjęty jest również zapis $n$ niecałkowitych, połówkowych ($\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2},...$) i z tego będziemy korzystać. Rząd wygaszenia dalej jest naturalny, ale w takiej postaci uwzględniania jest $\frac{1}{2}$ ze wzoru na wygaszenie.  Wtedy równania mają taką samą postać.

Przekształćmy wzór na wzmocnienie fali: 

$\sin \theta =\frac{n\lambda }{d}\mid \cdot d$

$d\sin \theta =n\lambda$

Odległość między źródłami fali, jest w naszym przypadku różnicę odległości głośników. Narysujmy schemat, który to obrazuje. Zaznaczmy na nim też różnicę odległości głośników od obserwatora i stwórzmy trójkąt prostokątny:

gdzie:

$d$ - odległość między głośnikami,

$\Delta r$ - różnica odległości głośników od obserwatora,

Z trygonometrii możemy wyznaczyć, że:

$\sin \theta =\frac{\Delta r}{d}\mid \cdot d$ 

$d\sin \theta =\Delta r$

$\Delta r=d\sin \theta$

Różnica odległości jest zdefiniowana jako:

$\Delta r=d_2-d_1$

Zatem nasze równanie na wzmocnienie/wygaszenie fali ma postać:

$d\sin \theta =n\lambda$

$\Delta r=n\lambda$

$d_2-d_1=n\lambda$

Przekształćmy powyższe równanie względem rzędu wygaszenia i otrzymujemy:

$d_2-d_1=n\lambda \mid :\lambda$

$n=\frac{d_2-d_1}{\lambda }$

Wstawiamy dane liczbowe do powyższego wzoru i otrzymujemy:

$n=\frac{6,63\text{m}-6,13\text{m}}{0,1\text{m}}=\frac{0,5\text{m}}{0,1\text{m}}=5$

Całkowita wartość $n$ oznacza, że obserwator widzi wzmocnienie fali.

Odpowiedź: Obserwator widzi wzmocnienie fali.

 

$\mathbf{b})$

Dane:

$\lambda =20\text{cm}=0,2\text{m}$

Szukane:

Czy obserwator stwierdzi wzmocnienie fali, czy jej wygaszenie?

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie, czy obserwator stwierdzi wzmocnienie fali, czy jej wygaszenie, gdy emitowana jest przez dwa głośniki.

Narysujmy najpierw schemat tej sytuacji zachowując skalę w odległościach:

 

 

gdzie oznaczenia są takie same jak w podpunkcie a).

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że:

$n=\frac{d_2-d_1}{\lambda }$

Wstawiamy dane liczbowe do powyższego wzoru i otrzymujemy:

$n=\frac{6,63\text{m}-6,13\text{m}}{0,2\text{m}}=\frac{0,5\text{m}}{0,2\text{m}}=2,5$

Niecałkowita wartość $n$ oznacza, że obserwator widzi wygaszenie fali.

Odpowiedź: Obserwator widzi wygaszenie fali.

 

$\mathbf{c})$

Dane:

$\lambda =25\text{cm}=0,25\text{m}$

Szukane:

Czy obserwator stwierdzi wzmocnienie fali, czy jej wygaszenie?

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie, czy obserwator stwierdzi wzmocnienie fali, czy jej wygaszenie, gdy emitowana jest przez dwa głośniki.

Narysujmy najpierw schemat tej sytuacji zachowując skalę w odległościach:

gdzie oznaczenia są takie same jak w podpunkcie a).

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że:

$n=\frac{d_2-d_1}{\lambda }$

Wstawiamy dane liczbowe do powyższego wzoru i otrzymujemy:

$n=\frac{6,63\text{m}-6,13\text{m}}{0,25\text{m}}=\frac{0,5\text{m}}{0,25\text{m}}=2$

Całkowita wartość $n$ oznacza, że obserwator widzi wzmocnienie fali.

Odpowiedź: Obserwator widzi wzmocnienie fali.

 

$\mathbf{d})$

Dane:

$\lambda =50\text{cm}=0,5\text{m}$

Szukane:

Czy obserwator stwierdzi wzmocnienie fali, czy jej wygaszenie?

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie, czy obserwator stwierdzi wzmocnienie fali, czy jej wygaszenie, gdy emitowana jest przez dwa głośniki.

Narysujmy najpierw schemat tej sytuacji zachowując skalę w odległościach:

gdzie oznaczenia są takie same jak w podpunkcie a).

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że:

$n=\frac{d_2-d_1}{\lambda }$

Wstawiamy dane liczbowe do powyższego wzoru i otrzymujemy:

$n=\frac{6,63\text{m}-6,13\text{m}}{0,5\text{m}}=\frac{0,5\text{m}}{0,5\text{m}}=1$

Całkowita wartość $n$ oznacza, że obserwator widzi wzmocnienie fali.

Odpowiedź: Obserwator widzi wzmocnienie fali.