Dane:

$\eta =20\%$

$r=300\text{m}=3\cdot 10^2\text{m}$

$\beta =70\text{dB}$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ minimalne natężenie dźwięku słyszalne dla człowieka (próg słyszalności): $I_0=10^{-12}\frac{\text{W}}{{\text{m}}^2}$.

Szukane:

$P_{el}=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie mocy elektrycznej syreny alarmowej.

Obliczmy najpierw natężenie rozpatrywanej fali dźwiękowej. Aby to zrobić wykorzystamy wzór na poziom natężenia dźwięku:

POZIOM NATĘŻENIA DŹWIĘKU Poziom natężenia dźwięku jest wielkością uwzględniającą logarytmiczny charakter odczuwania głośności. Przedstawić możemy ją funkcją: $\beta =10\cdot \log \left(\frac{I}{I_0}\right)$ gdzie: $\beta$ - poziom natężenia dźwięku (podany w decybelach),  $I$ - natężenie badanej fali dźwiękowej,  $I_0$ - natężenie dźwięku dla progu słyszalności.

$\beta =10\cdot \log \left(\frac{I}{I_0}\right)|:10$

$\frac{\beta }{10}=\log \left(\frac{I}{I_0}\right)$

Wiedząc, że logarytm, który nie ma zapisanej podstawy to logarytm dziesiętny oraz pamiętając, że:

${\log }_{a}b=c\Rightarrow a^c=b$

Zapiszemy:

$10^{\frac{\beta }{10}}=\frac{I}{I_0}|\cdot I_0$

Zamieniamy stronami:

$I=I_0\cdot 10^{\frac{\beta }{10}}$

Podstawiamy i obliczamy:

$I=10^{-12}\frac{\text{W}}{{\text{m}}^2}\cdot 10^{\frac{7\cancel{0}}{1\cancel{0}}}=10^{-12}\frac{\text{W}}{{\text{m}}^2}\cdot 10^7=$

     $=10^{-12+7}\frac{\text{W}}{{\text{m}}^2}{}^{}=10^{-5}\frac{\text{W}}{{\text{m}}^2}{}^{}$

Zauważmy, że jeśli założymy rozchodzenie we wszystkie strony tak samo, to ta sama moc akustyczna rozkłada się na powierzchni kuli o promieniu równym podanej odległości $r$.

Wykorzystajmy wzór łączący natężenie fali akustycznej i moc źródła.

NATĘŻENIE FALI Dźwięk emitowany przez źródło ma postać fal kulistych. Wówczas dla punktowego źródła dźwięku natężenie emitowanej fali kulistej obliczymy z zależności: $I=\frac{P}{4\pi r^2}$ gdzie: $I$ - natężenie fali kulistej, $P$ - moc źródła fali, $\pi$ - liczba π (pi), $r$ - odległość od źródła fali.

$I=\frac{P}{4\pi r^2}|\cdot 4\pi r^2$

Zamieniamy stronami:

$P=I\cdot 4\pi r^2$

Podstawiamy i obliczamy:

${P=10^{-5}\frac{\text{W}}{{\text{m}}^2}{}^{}\cdot 4\cdot 3,14\cdot \left(3\cdot 10^2\text{m}\right)}^2$

     $=10^{-5}\frac{\text{W}}{\cancel{{\text{m}}^2}}{}^{}\cdot 12,56\cdot 9\cdot 10^4\cancel{{\text{m}}^2}=$

     $=10^{-5+4}\text{W}{}^{}\cdot 12,56\cdot 9=$

     $=113,04\cdot 10^{-1}\text{W}\approx 11,3\text{W}$

Sprawność definiujemy jako:

$\eta =\frac{P}{P_{el}}$

gdzie:

$\eta$ - sprawność,

$P$ - moc źródła fali,

$P_{el}$ - moc elektryczna.

Przekształcamy powyższy wzór celem uzyskania zależności na moc elektryczną:

$\eta =\frac{P}{P_{el}}|\cdot P_{el}$

$\eta \cdot P_{el}=P|:\eta$

$P_{el}=\frac{P}{\eta }$

Podstawiamy i obliczamy, pamiętając aby sprawność wyrazić w postaci ułamka:

$P_{el}=\frac{11,3\text{W}}{20\%}=\frac{11,3\text{W}}{0,2}=$

     $=56,5\text{W}\approx 57\text{W}$

Odpowiedź: Moc elektryczna wynosi około $57\text{W}$.