Dane:

$k=30\frac{\text{N}}{\text{m}}$

$T=0,5\text{s}$   

$A=3\text{cm}=0,03\text{m}$

Szukane:

$m=?$  

$v_{\max }=?$

$a_{\max }=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie masy ciężarka, wartości jego maksymalnej prędkości oraz wartości jego maksymalnego przyspieszenia.

W przypadku ciała zawieszonego na sprężynie okres drgań możemy obliczyć ze wzoru:

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

gdzie:

$T$ - okres drgań, 

$\pi$ - liczba π,

$m$ - masa zwieszona na sprężynie, 

$k$ - współczynnik sprężystości sprężyny. 

Przekształcamy powyższy wzór celem otrzymana zależności na masę:

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}{\mid \left(\right)}^2$  

Zamieniamy stronami:

$4{\pi }^2\frac{m}{k}=T^2\mid \cdot k$  

$4{\pi }^{2}m=k{T}^2\mid :4{\pi }^2$  

$m=\frac{k{T}^2}{4{\pi }^2}$  

Podstawiamy i obliczamy:

$m=\frac{30\frac{\text{N}}{\text{m}}\cdot {\left(0,5\text{s}\right)}^2}{4\cdot {3,14}^2}=\frac{30\frac{\text{kg}\cdot \frac{\cancel{\text{m}}}{\cancel{{\text{s}}^2}}}{\cancel{\text{m}}}\cdot 0,25\cancel{{\text{s}}^2}}{4\cdot 9,8596}=$  

$=\frac{7,5\text{kg}}{39,4384}\approx 0,19017\text{kg}\approx 0,19\text{k}\text{g}$  

W ruchu drgającym wartość prędkości ciała jest maksymalna, gdy znajduje się ono w położeniu równowagi. Wówczas zgodnie z zależnością wartości prędkości od czasu, w tym położeniu kosinus kąta przyjmuje największą wartość, czyli $1$, a maksymalna wartość prędkości ma wówczas postać:

$v_{\max }=A\omega$

gdzie: 

$v_{\max }$ - maksymalna wartość prędkości (wartość prędkości w położeniu równowagi),

$A$ - amplituda,  

$\omega$ - częstość drgań.  

Częstość drgań możemy przedstawić za pomocą wzoru:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$

gdzie:

$\omega$ - częstość drgań, 

$\pi$ - liczba pi, 

$T$ - okres ruchu tego ciała. 

Po podstawieniu do wzoru na $v_{\max }$ otrzymujemy:

$v_{\max }=A\cdot \frac{2\pi }{T}$

Podstawiamy i obliczamy najlepiej za pomocą kalkulatora naukowego:

$v_{\max }=0,03\text{m}\cdot \frac{2\pi }{0,5\text{s}}=$

     $=0,376991\frac{\text{m}}{\text{s}}\approx 0,38\frac{\text{m}}{\text{s}}$

W ruchu drgającym wartość przyspieszenia ciała jest maksymalna, gdy znajduje się ono w jednym z maksymalnych wychyleń od położenia równowagi. Wówczas, zgodnie z zależnością wartości przyspieszenia od czasu, w tym położeniu sinus kąta przyjmuje największą wartość, czyli $1$, a maksymalna wartość przyspieszenia ma wówczas postać:

$a_{\max }=A{\omega }^2$

gdzie: 

$a_{\max }$ - maksymalna wartość przyspieszenia,

$A$ - amplituda,  

$\omega$ - częstość drgań.  

Po rozpisaniu częstości drgań otrzymujemy: 

${a_{\max }=A\left(\frac{2\pi }{T}\right)}^2$

Podstawiamy i obliczamy najlepiej za pomocą kalkulatora naukowego:

${a_{\max }=0,03\text{m}\cdot \left(\frac{2\pi }{0,5\text{s}}\right)}^2=$

     $=0,03\text{m}\cdot 157.9136\frac{1}{{\text{s}}^2}=4.73741\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\approx$

     $\approx 4.7\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

Odpowiedź: Masa ciężarka wynosiła około $0,19\text{k}\text{g}$, jego prędkość maksymalna miała wartość około $0,38\frac{\text{m}}{\text{s}}$, a wartość przyspieszenia maksymalnego około $4.7\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.