UWAGA! Różnice w otrzymanym wyniku zadania oraz tym w podręczniku wynikają z dokładności odczytania danych z wykresu.

 

Dane:

$U=9\text{V}$

 

$\mathbf{a})$

Dane:

$T=20^{\circ }\text{C}$

Szukane:

$I=?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest obliczenie natężenia prądu płynącego przez płytkę półprzewodnikową w danej temperaturze. Aby rozwiązać to zadanie, zacznijmy od przyjrzenia się wykresowi. Na osi Y znajdują się wartości oporu, a na osi X - temperatury płytki. Na wykresie zaznaczone są jedynie punkty, które nie są połączone linią, dlatego nie znamy wartości funkcji dla wszystkich temperatur. Możemy jednak oszacować wartość oporu, biorąc pod uwagę dwa najbliższe punkty sąsiadujące z rozważaną temperaturą. Jak widać na wykresie, dla $20^{\circ }\text{C}$ najbliższe są dwa pierwsze punkty. Aby odczytać ich wartości, rysujemy linie pomocnicze łączące te punkty z osiami - tak jak pokazano na rysunku poniżej:

gdzie:

$R$ - opór elektryczny płytki półprzewodnikowej,

$T$ - temperatura płytki półprzewodnikowej.

Jak widać, pierwszy punkt ma wartość  $R=158\Omega$ dla $T=21^{\circ }\text{C}$.

Drugi punkt ma wartość $R=148\Omega$ dla $T=23^{\circ }\text{C}$.

Chcemy dopasować prostą do tych dwóch punktów. Wiemy, że równanie prostej ma postać:

$f\left(x\right)=ax+b$

gdzie:

$f\left(x\right)$ - wartość funkcji w punkcie x,

$x$ - argument funkcji,

$a$ - współczynnik kierunkowy,

$b$ - wyraz wolny.

Dla naszego zadania możemy zapisać:

$R\left(T\right)=aT+b$

gdzie:

$R\left(T\right)$ - wartość oporu dla danej temperatury,

$T$ - temperatura płytki.

Podstawiając wartości odczytane z wykresu, otrzymujemy zestaw dwóch równań:

$\{\begin{array}{l}158\Omega =a\cdot 21^{{}^{\circ }}\text{C}+b\\ 148\Omega =a\cdot 23^{\circ }\text{C}+b\end{array}$

Odejmujemy od siebie równania, co pozwala nam wyeliminować wyraz wolny:

$158\Omega -148\Omega =a\cdot 21^{\circ }\text{C}-a\cdot 23^{\circ }\text{C}+b-b$

$10\Omega =a\cdot \left(-2^{\circ }\text{C}\right)$

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać wzór na współczynnik a:

$10\Omega =-2^{\circ }\text{C}\cdot a|:\left(-2^{\circ }\text{C}\right)$

$\frac{10\Omega }{-2^{\circ }\text{C}}=a$

$a=-5\frac{\Omega }{{}^{\circ }\text{C}}$

Podstawiamy otrzymaną wartość współczynnika kierunkowego do pierwszego równania, aby wyznaczyć wyraz wolny b:

$158\Omega =-5\frac{\Omega }{\cancel{{}^{\circ }\text{C}}}\cdot 21\cancel{{}^{\circ }\text{C}}+b$

$158\Omega =-105\Omega +b|+105\Omega$

$263\Omega =b$

$b=263\Omega$

Skoro otrzymaliśmy już współczynnik kierunkowy oraz wyrazy wolne możemy obliczyć opór płytki dla 20 stopni Celsjusza:

$R\left(20^{\circ }\text{C}\right)=-5\frac{\Omega }{\cancel{{}^{\circ }\text{C}}}\cdot 20\cancel{{}^{\circ }\text{C}}+263\Omega =$

$=-100\Omega +263\Omega =163\Omega$

Znamy opór, czyli możemy skorzystać ze wzoru na natężenie wynikającego z prawa Ohma:

$I=\frac{U}{R}$ 

gdzie:

$I$ - natężenie prądy płynącego przez płytkę, 

$U$ - napięcie, do jakiego podłączono płytkę, 

$R$ - opór elektryczny. 

Podstawiamy wartości liczbowe:

$I=\frac{9\text{V}}{163\Omega }\approx 0,055\text{A}=55\text{mA}$

Odpowiedź: Przez płytkę płynie prąd o natężeniu $55\text{mA}$.

 

$\mathbf{b})$

Dane:

$T=70^{\circ }\text{C}$

Szukane:

$I=?$

Rozwiązanie:

Naszym celem, podobnie jak w poprzednim podpunkcie, jest obliczenie natężenia płynącego przez półprzewodnikową płytkę dla danej temperatury. Wyznaczamy współrzędne punktów tak jak w punkcie a). W efekcie możemy zaznaczyć na wykresie współrzędne punktów:

Jak widać, pierwszy punkt ma wartość $R=39\Omega$ dla $T=68^{\circ }\text{C}$.

Drugi punkt ma wartość $R=34\Omega$ dla $T=73^{\circ }\text{C}$.

Tak jak poprzednio korzystamy ze wzoru na opór od temperatury i otrzymujemy zestaw równań:

$\{\begin{array}{l}39\Omega =a\cdot 68^{{}^{\circ }}\text{C}+b\\ 34\Omega =a\cdot 73^{\circ }\text{C}+b\end{array}$

Odejmujemy od siebie powyższe równania i otrzymujemy:

$39\Omega -34\Omega =a\cdot 68^{\circ }\text{C}-a\cdot 73^{\circ }\text{C}+b-b$

$5\Omega =-5^{\circ }\text{C}\cdot a|:\left(-5^{\circ }\text{C}\right)$

$\frac{5\Omega }{-5^{\circ }\text{C}}=a$

$a=-1\frac{\Omega }{{}^{\circ }\text{C}}$

Podstawiamy otrzymany współczynnik do pierwszego z dwóch równań:

$39\Omega =-1\frac{\Omega }{\cancel{{}^{\circ }\text{C}}}\cdot 68\cancel{{}^{\circ }\text{C}}+b$

$39\Omega =-68\Omega +b$

$107\Omega =b$

$b=107\Omega$

Znamy już współczynnik kierunkowy oraz wyraz wolny, więc możemy obliczyć opór dla danej temperatury:

$R\left(70^{\circ }\text{C}\right)=-1\frac{\Omega }{\cancel{{}^{\circ }\text{C}}}\cdot 70\cancel{{}^{\circ }\text{C}}+107\Omega =$

$=-70\Omega +107\Omega =37\Omega$

Stosujemy wzór na natężenie wynikający z prawa Ohma:

$I=\frac{U}{R}$

Podstawiamy wartości liczbowe:

$I=\frac{9\text{V}}{37\Omega }\approx 0,243\text{A}=243\text{mA}$

Odpowiedź: Przez płytkę płynie prąd o natężeniu $243\text{mA}$.