Dane:

$n=3$

$k=2$

$m=1,00784\text{u}=1,00784\cdot 1,66\cdot {10}^{-27}\text{kg}\approx 1,673\cdot {10}^{-27}\text{kg}$    

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ energia elektronu na podstawowym poziomie atomu wodoru:
$E_1=-13,6\text{eV}=-13,6\cdot 1,6\cdot {10}^{-19}\text{C}\cdot \text{V}=-2,176\cdot {10}^{-18}\text{J}$    ,

▶ wartość prędkości światła w próżni: $c=3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}$ .

Szukane:

$v=?$

Rozwiązanie:

Zjawisko odrzutu jest spowodowane zasadą zachowania pędu. Początkowo pęd układu atomu jest równy zero. Po emisji fotonu porusza się on prostoliniowo w pewnym kierunku z ustalonym zwrotem. Atom zostaje odrzucony w tym samym kierunku co foton, ale z przeciwnym zwrotem, tak by całkowity pęd układu atomu pozostał równy zero.

Wyzwalaną energię w atomie wodoru zapiszemy, znając poziomy energetyczne, między którymi nastąpił przeskok elektronu.

$E=\left|E_1\right|\left(\frac{1}{k^2}-\frac{1}{n^2}\right)$

gdzie:

$E$ - wyzwalana energia,

$E_1$   - energia elektronu na podstawowym poziomie atomu wodoru,

$k$   - numer niższej orbity,

$n$   - numer wyższej orbity.

Obliczmy tę energię:

$E=2,176\cdot 10^{-18}\mathrm{J}\cdot \left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}\right)=2,176\cdot 10^{-18}\mathrm{J}\cdot \left(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right)=$

$=2,176\cdot 10^{-18}\mathrm{J}\cdot \left(\frac{9}{36}-\frac{4}{36}\right)=2,176\cdot 10^{-18}\mathrm{J}\cdot \frac{5}{36}\approx$

$\approx 0,302\cdot 10^{-18}\mathrm{J}=3,02\cdot 10^{-19}\mathrm{J}$

Wyzwalana energia będzie zużyta na energię emitowanego fotonu oraz na energię kinetyczną, jaką uzyskał odrzucony atom.

$E=E_f+E_{\text{H}}$

gdzie:

$E_f$ - energia fotonu,

$E_{\text{H}}$ - energia kinetyczna atomu.

Energię fotonu wyrażamy jako:

$E_f=\frac{hc}{\lambda }$

gdzie:

$h$   - stała Plancka,

$c$   - prędkość światła,

$\lambda$   - długość fali.

Wartość pędu fotonu możemy wyznaczyć jako:

$p_f=\frac{h}{\lambda }$  

gdzie:

$p_f$ - wartość pędu fotonu.

Stąd:

$\lambda =\frac{h}{p_f}$  

Podstawiamy wyznaczoną zależność do wzoru na energię fotonu.

$E_f=\frac{hc}{\frac{h}{p_f}}=p_{f}c$

Energię kinetyczną atomu wyrazimy jako:

$E_{\text{H}}=\frac{m{v}^2}{2}$

gdzie:

$m$ - masa atomu wodoru,

$v$ - wartość prędkości atomu wodoru.

Wartość pędu atomu wodoru wyrazimy jako:

$p_{\text{H}}=mv$

gdzie:

$p_{\text{H}}$ - wartość pędu atomu wodoru.

Otrzymujemy zatem, że:

$E=E_f+E_{\text{H}}$

$E=p_{f}c+\frac{m{v}^2}{2}$

Zgodnie z zasadą zachowania pędu otrzymujemy:

$p_f-p_{\text{H}}=0$

$p_f=p_{\text{H}}$   

Stąd:

$E=p_{\text{H}}c+\frac{m{v}^2}{2}$

Zatem:

$E=mvc+\frac{m{v}^2}{2}$

Otrzymujemy równanie kwadratowe z zależnością na wartość prędkości odrzutu atomu wodoru.

$\frac{1}{2}m\cdot v^2+mc\cdot v-E=0$

Przy czym:

$v\ge 0$

Wyznaczamy wyróżnik równania kwadratowego:

$\Delta =m^2{c}^2-4\cdot \frac{1}{2}m\cdot \left(-E\right)=m^2{c}^2+2mE$

Wielkości występujące we wzorze na deltę są dodatnie, zatem:

$\Delta >0$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{m^2{c}^2+2mE}$

$\sqrt{\Delta }=m\sqrt{c^2+\frac{2E}{m}}$

Możemy wyznaczyć pierwiastki równania kwadratowego.

$v=\frac{-mc\pm m\sqrt{c^2+\frac{2E}{m}}}{m}$

$v=-c\pm \sqrt{c^2+\frac{2E}{m}}$

Odrzucamy rozwiązanie, które na pewno jest ujemne.

$v=-c+\sqrt{c^2+\frac{2E}{m}}$

Wyznaczmy wartość prędkości odrzutu.

$v=-3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}+\sqrt{{\left(3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)}^2+\frac{2\cdot 3,02\cdot 10^{-19}\mathrm{J}}{1,673\cdot 10^{-27}\mathrm{kg}}}\approx$

$\approx -3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}+\sqrt{9\cdot 10^{16}\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}+3,6103\cdot 10^8\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}=$

$=-3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}+\sqrt{9\cdot 10^{16}\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}+0,000000036103\cdot 10^{16}\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}=$

$=-3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}+\sqrt{9,000000036103\cdot 10^{16}\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}\approx$

$\approx -3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}+3,000000006017\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=0,000000006017\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=0,6017\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Odpowiedź: Wartość prędkości odrzutu atomu wodoru była równa $0,6017\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.