Rozwiązanie: 

Naszym zadaniem opis zderzenia centralnego skośnego.

Schemat naszej sytuacje wygląda następująco:

gdzie:

$1$ - oznaczenie pierwszej kuli,

$2$ - oznaczenie drugiej kuli,

$\vec{v}$ - wektor prędkości pierwszej kuli przed zderzeniem,

$\overrightarrow{v_x},\overrightarrow{v_y}$  - składowe wektora $\vec{v}$,

czarny punkt - środek ciężkości kul,

czerwony punkt - punkt styku obu kul przy zderzeniu,

$\vec{x},\vec{y}$ - zastosowany układ odniesienia,

$\overrightarrow{F_{12}}$ - siła z jaką kula pierwsza oddziałuje na kulę drugą,

$\overrightarrow{F_{21}}$ - siła, z jaką druga kula oddziałuje na pierwszą kulę,

$\overrightarrow{v_1}$ - wektor prędkości pierwszej kuli po zderzeniu,

$\overrightarrow{v_2}$ - wektor prędkości drugiej kuli po zderzeniu. 

Rozpiszmy zasadę zachowania energii dla przypadku przedstawionego powyżej:

W naszych obliczeniach po lewej stronie równania rozpiszemy przypadek $A)$, natomiast po prawej stronie - przypadek $B)$.

Zakładamy, że na nasze kule mają jedynie energie kinetyczne, a równocześnie wiemy, że w zderzeniach sprężystych energia kinetyczna przed zderzeniem jest równa sumie energii kinetycznych obu kul po zderzeniu. 

$\frac{1}{2}{m}_1{\vec{v}}^2=\frac{1}{2}{m}_1{\overrightarrow{v_1}}^2+\frac{1}{2}{m}_2{\overrightarrow{v_2}}^2$

gdzie:

$m_1$ - masa pierwszej kuli,

$m_2$ - masa drugiej kuli.

Natomiast zasada zachowania pędu ma następującą postać:

Na początku kula druga była w spoczynku, więc jej wartość pędu była równa zeru:

$m_1\vec{v}=m_1\overrightarrow{v_1}+m_2\overrightarrow{v_2}$

Łącząc dwa powyższe równania otrzymujemy układ równań:

$\begin{array}{c}\frac{1}{2}{m}_1{\vec{v}}^2=\frac{1}{2}{m}_1{\overrightarrow{v_1}}^2+\frac{1}{2}{m}_2{\overrightarrow{v_2}}^2\mid :\frac{1}{2}\\ m_1\vec{v}=m_1\overrightarrow{v_1}+m_2\overrightarrow{v_2}\end{array}$

$\begin{array}{c}{m}_1{\vec{v}}^2=m_1{\overrightarrow{v_1}}^2+m_2{\overrightarrow{v_2}}^2\\ m_1\vec{v}=m_1\overrightarrow{v_1}+m_2\overrightarrow{v_2}\end{array}$

Wiemy, z treści zadania, że kule są identyczne, co oznacza, że ich masa jest jednakowa. Załóżmy, że jest równa $m$:

$m_1=m_2=m$

Wtedy nasz układ równań ma postać:

$\begin{array}{c}m{\vec{v}}^2=m{\overrightarrow{v_1}}^2+m{\overrightarrow{v_2}}^2\mid :m\\ m\vec{v}=m\overrightarrow{v_1}+m\overrightarrow{v_2}\mid :m\end{array}$

$\begin{array}{c}{\vec{v}}^2={\overrightarrow{v_1}}^2+{\overrightarrow{v_2}}^2\\ \vec{v}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}\end{array}$

Wstawiamy drugą równość do pierwszej i otrzymujemy:

${\left(\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}\right)}^2={\overrightarrow{v_1}}^2+{\overrightarrow{v_2}}^2$

${\overrightarrow{v_1}}^2+2\overrightarrow{v_1}\circ \overrightarrow{v_2}+{\overrightarrow{v_2}}^2={\overrightarrow{v_1}}^2+{\overrightarrow{v_2}}^2\mid -{\overrightarrow{v_1}}^2-{\overrightarrow{v_2}}^2$

$2v_1\circ v_2=0\mid :2$

$v_1\circ v_2=0$

Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest równy zero, gdy dwa wektory są do siebie prostopadłe.