Uzasadnienie: 

Naszym celem jest narysowanie biegu promienia świetlnego oraz uzasadnienie, dlaczego jego droga będzie wyglądać w taki sposób. Wiemy, że po przejściu przez granicę ośrodków promień ulega załamaniu. Załamanie to zachodzi zgodnie z prawem Snelliusa:

PRAWO ZAŁAMANIA Korzystając, z prawa załamania (prawo Snella) wiemy, że stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania jest dla dwóch danych ośrodków wielkością stałą, równą stosunkowi szybkości światła w tych ośrodkach i zwaną względnym współczynnikiem załamania ośrodka drugiego względem pierwszego: $\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{v_1}{v_2}=\frac{n_2}{n_1}$ gdzie: $\alpha$ - kąt padania, $\beta$ - kąt załamania, $v_1$ - szybkość światła w ośrodku padania, $v_2$ - szybkość światła w ośrodku, w którym światło ulega załamaniu, $n_1$ - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło pada, $n_2$ - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło się załamuje.

Dla naszego zadania możemy zapisać:

$\frac{\sin {\alpha }_1}{\sin {\alpha }_2}=\frac{n_2}{n_1}$

Wiemy, że następnie promień padnie pod kątem ${\alpha }_3$. Wiemy, że jest to kąt pomiędzy prostą styczną do powierzchni pryzmatu a biegiem promienia. Jeśli narysujemy prostą równoległa do podstawy to kąt pomiędzy tą prostą a promieniem będzie równy ${\alpha }_2$, natomiast kąt pomiędzy prostą styczną do powierzchni pryzmatu a prostą równoległą do jego podstawy będzie taki sam jak kąt przy podstawie pryzmatu, jak pokazano na rysunku poniżej.

 

Jak widzimy, promień pada od strony gęstszego ośrodka, więc możliwe jest, że padnie pod kątem większym niż kąt całkowitego wewnętrznego odbicia. Wówczas kąt załamania wynosi 90°, a prawo Snelliusa przyjmuje postać:

$\frac{\sin {\alpha }_{gr}}{\sin \left(90^{\circ }\right)}=\frac{n_1}{n_2}$

 $\sin {\alpha }_{gr}=\frac{n_1}{n_2}$

Jak widzimy relacja po prawej jest równa odwrotności tej otrzymanej z prawa Snelliusa, gdy promień padał na powierzchnię pryzmatu:

$\frac{n_1}{n_2}=\frac{\sin {\alpha }_2}{\sin {\alpha }_1}$

Podstawiając to do wzoru na sinus kąta granicznego, dostajemy:

$\sin {\alpha }_{gr}=\frac{\sin {\alpha }_2}{\sin {\alpha }_1}$

Korzystając z wykresu, możemy obliczyć sinusy poszczególnych kątów korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$c^2=a^2+b^2$

gdzie:

$c$ - przeciwprostokątna,

$a,b$ - przyprostokątne.

Jeśli chcemy wyznaczyć długość przeciwprostokątnej, to pierwiastkujemy obie strony równania i otrzymujemy:

$c=\sqrt{a^2+b^2}$

Wiemy, że sinus jest dany wzorem:

$\sin \alpha =\frac{a}{c}$

gdzie:

$a$ - przyprostokątna naprzeciwko kąta α.

Korzystając ze wzoru na długość przeciwprostokątnej, który otrzymaliśmy z twierdzenia Pitagorasa, dostajemy:

$\sin \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Dla promienia padającego na powierzchnię pryzmatu od zewnątrz widzimy, że przyprostokątne mają długość 2 i 5 jednostek (jako jednostkę przyjęto jeden mały kwadrat na rysunku). W związku z tym mamy:

$\sin {\alpha }_1=\frac{2}{\sqrt{2^2+5^2}}=\frac{2}{\sqrt{4+25}}=\frac{2}{\sqrt{29}}$ 

Natomiast dla promienia załamanego po wejściu do pryzmatu mają przyprostokątne o długościach 2 i 8 dostajemy:

$\sin {\alpha }_2=\frac{2}{\sqrt{2^2+8^2}}=\frac{2}{\sqrt{4+64}}=\frac{2}{\sqrt{68}}$

Podstawiają wartości sinusów otrzymane powyżej do wzoru na sinus kąta granicznego, dostajemy:

$\sin {\alpha }_{gr}=\frac{\frac{2}{\sqrt{68}}}{\frac{2}{\sqrt{29}}}=\sqrt{\frac{29}{68}}\approx 0,653$

Oznacza to, że ten kąt ma wartość około $40^{\circ }$. Wiemy, że kąt, pod jakim promień pada na powierzchnię pryzmatu w jego wnętrzu, jest większy od kąta ${\alpha }_2$ o $45^{\circ }$, zatem z całą pewnością jest większy od kąta granicznego.

 W związku z tym powstanie jedynie promień odbity, który będzie odbity pod takim samym kątem, pod jakim promień padał na powierzchnię pryzmatu. Odbity promień będzie następnie padał na podstawę pod kątem ${\alpha }_2$. W związku z tym zgodnie z prawem Snella po opuszczeniu pryzmatu załamie się tak, aby tworzyć kąt ${\alpha }_1$ ze styczną do powierzchni pryzmatu.

 Odpowiedź: