Dane:

$x_1=2f$

$x_2=3f$

$v=1\frac{\text{cm}}{\text{s}}$

Szukane:

$v_{\acute{s}r}=?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest obliczenie średniej szybkości obrazu. W treści zadania mamy wyrażone położenie początkowe i końcowe przedmiotu wyrażone przez ogniskową soczewki. W związku z tym najpierw trzeba najpierw obliczyć tę wielkość. Wiemy, że dla soczewki spełnione jest równanie:

RÓWNANIE SOCZEWKI Równanie soczewki opisuje zależności pomiędzy odległościami przedmiotu i obrazu od soczewki a długością ogniskowej. Ma ono postać: $\frac{1}{f}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ gdzie: $f$ - ogniskowa soczewki, $x$ - odległość przedmiotu od soczewki, $y$ - odległość obrazu od soczewki.

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać wzór na ogniskową soczewki:

$\frac{1}{f}=\frac{y}{xy}+\frac{x}{xy}$

$\frac{1}{f}=\frac{y+x}{xy}$

Odwracamy obie strony równania i dostajemy:

$f=\frac{xy}{y+x}$

Aby obliczyć tę wielkość, musimy odczytać odpowiedni punkt z wykresu. W tym celu wybieramy interesującą nas wartość na osi X i prowadzimy z niej prostą pionową aż do przecięcia z krzywą przedstawioną na wykresie. Z punktu przecięcia prowadzimy następnie prostą poziomą do osi Y. Punkty, w których te proste przecinają osie wykresu, odpowiadają wartościom, których szukamy. Korzystając z tych informacji, możemy odczytać współrzędne punktu:

Mamy punkt:

$y=20\text{cm}$ dla $x=20\text{cm}$

Podstawiając te wartości do wzoru na ogniskową, dostajemy:

$f=\frac{20\text{cm}\cdot 20\text{cm}}{20\text{cm}+20\text{cm}}=\frac{400{\text{cm}}^{\cancel{2}}}{40\cancel{\text{cm}}}=10\text{cm}$

Oznacza to, że:

$x_1=2\cdot 10\text{cm}=20\text{cm}$

$x_2=3\cdot 10\text{cm}=30\text{cm}$

Dla tych punktów możemy znaleźć położenie obrazu analogicznie jak dla wyboru punktów.

Dostajemy:

$y_1=20\text{cm}$

$y_2=15\text{cm}$

Skoro znamy już położenie początkowe i końcowe obrazu, możemy przejść do obliczenia jego średniej szybkości. Wiemy, że średnia szybkość jest dana wzorem:

ŚREDNIA SZYBKOŚĆ Średnia szybkość ruchu jest stosunkiem całkowitej drogi przebytej przez ciało do całkowitego czasu ruchu: $v_{\text{sˊr}}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$ gdzie: $v_{\text{sˊr}}$ - średnia szybkość,  $\Delta s$ - całkowita droga, jaką pokonało ciało, $\Delta t$ - całkowity czas ruchu ciała.

 Całkowita droga w tym zadaniu to będzie różnica w położeniach obrazu, więc możemy zapisać:

$v_{\acute{s}r}=\frac{|y_2-y_1|}{\Delta t}$

Wiemy, że ruch obrazu będzie trwał tyle samo co ruch przedmiotu, więc musimy obliczyć czas, jaki zajmie mu przejechanie od położenia początkowego do końcowego. Przedmiot porusza się ze stałą szybkość, więc zastosujemy dla niego wzór:

POŁOŻENIE CIAŁA W RUCHU JEDNOSTAJNYM Zależność położenia od czasu, gdy ciało porusza się ze stałą szybkością ma postać: $x\left(t\right)=x_0\pm vt$ gdzie: $x$ - położenie po zadanym czasie, $x_0$ - początkowe położenie ciała względem wybranego początku osi, $v$ - szybkość, z jaką porusza się ciało, $t$ - czas ruchu. Znak plus lub minus zależy od tego, czy ciało porusza się zgodnie ze zwrotem osi, czy przeciwnie do niej.

Przedmiot porusza się zgodnie ze zwrotem osi, więc wzór ma postać:

$x=x_0+vt$

Dla naszego zadania możemy zapisać:

$x_2=x_1+v\Delta t$

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać wzór na czas ruchu:

$x_2=x_1+v\Delta t|-x_1$'

$x_2-x_1=v\Delta t|:v$

$\frac{x_2-x_1}{v}=\Delta t$

$\Delta t=\frac{x_2-x_1}{v}$

Podstawiamy to do wzoru na średnią szybkość:

$v_{\acute{s}r}=\frac{|y_2-y_1|}{\frac{x_2-x_1}{v}}$

$v_{\acute{s}r}=v\frac{|y_2-y_1|}{x_2-x_1}$

Podstawiając dane, dostajemy:

$v_{\acute{s}r}=1\frac{\text{cm}}{\text{s}}\cdot \frac{|15\text{cm}-20\text{cm}|}{30\text{cm}-20\text{cm}}=$

$=1\frac{\text{cm}}{\text{s}}\cdot \frac{|-5\text{cm}|}{10\text{cm}}=1\frac{\text{cm}}{\text{s}}\cdot \frac{5\cancel{\text{cm}}}{10\cancel{\text{cm}}}=$

$=1\frac{\text{cm}}{\text{s}}\cdot 2=2\frac{\text{cm}}{\text{s}}$

Odpowiedź: Średnia szybkość obrazu wynosi $2\frac{\text{cm}}{\text{s}}$.