Uzasadnienie: 

Naszym celem jest określenie czy energia oraz długość fali absorbowanego fotonu przy przejściu z pierwszej na trzecią orbitę jest równa sumie energii oraz dłguości fotonów emitowanych podczas przejść pomiędzy 1 i 2 oraz 2 i 3 orbitą. Wiemy, że różnica energii elektronu pomiędzy poszczególnymi orbitami jest równa energii fotonu absorbowanego lub emitowanego podczas tych przejść. W związku z tym możemy skorzystać ze wzoru:

EMISJA FOTONU Energię fotonu emitowanego podczas przeskoku między orbitami/poziomami energetycznymi wyrażamy jako: $E_f=E_0\left(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\right)$ gdzie: $E_f$ - energia fotonu, $E_0$ - energia atomu wodoru w stanie podstawowym, $n$ - numer wyższej orbity/poziomu energetycznego, $m$ -  numer niższej orbity/poziomu energetycznego.

Nie wiemy jaki atom rozważamy jednak powyższe równanie wciąż będzie spełnione, z tym że $E_0$ będzie tutaj oznaczać energie tego atomu w stanie podstawowym.

W związku z tym dla przejścia z pierwszej orbity na drugą powyższe równanie będzie miało postać:

$E_{12}=E_0\left(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}\right)=E_0\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{4}{E}_0$

gdzie:

$E_{12}$ - różnica energii pomiędzy pierwszą a drugą orbitą. 

Dla przejścia z drugiej na trzeciej mamy:

$E_{23}=E_0\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}\right)=E_0\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right)=$

$=E_0\left(\frac{9}{36}-\frac{4}{36}\right)=\frac{5}{36}{E}_0$

gdzie:

$E_{23}$ - różnica energii pomiędzy 2 a 3 orbitą.

Dla przejścia z 3 na pierwszą orbitę:

$E_{31}=E_0\left(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{3^2}\right)=E_0\left(1-\frac{1}{9}\right)=\frac{8}{9}{E}_0$

gdzie:

$E_{31}$ - różnica energii pomiędzy 3 a 1 orbitą.

Jeśli energia absorbowanego atomu przy przejściu z pierwszej orbity na trzecią jest równa energii emitowanych elektronów podczas przejść z trzeciej na druga orbitę oraz z drugiej na pierwszą orbitę to spełnione będzie równanie:

$E_{31}=E_{23}+E_{12}$

$\frac{8}{9}{E}_0=\frac{5}{36}{E}_0+\frac{3}{4}{E}_0$

$\frac{8}{9}{E}_0=\frac{5}{36}{E}_0+\frac{3\cdot 9}{36}{E}_0$

$\frac{8}{9}{E}_0=\frac{5}{36}{E}_0+\frac{27}{36}{E}_0$

$\frac{8}{9}{E}_0=\frac{32}{36}{E}_0$

$\frac{8}{9}{E}_0=\frac{8}{9}{E}_0$

Jak widzimy, to równanie jest spełnione, zatem energia przy przejściu z trzeciej orbity na pierwszą jest równa sumie energii przy przejściach pomiędzy kolejnymi orbitami.

Wiemy, że energia fotonu jest związana z długością fali wzorem:

ENERGIA FOTONU Energię fotonu o podanej długości fali możemy obliczyć za pomocą wzoru: $E_f=\frac{hc}{\lambda }$ gdzie: $E_f$ - energia fotonu, $h$ - stała Plancka, $c$ - wartość prędkości światła, $\lambda$ - długość fali padającego promieniowania.

Możemy zapisać powyższe dla fal absorabowanych i emitowanych podczas konkretnych przejść:

$E_{31}=\frac{hc}{{\lambda }_{31}}$

gdzie:

${\lambda }_{31}$ - długość fali dla fotonu absorbowanego przy przejściu z 1 na 3 orbitę.

$E_{12}=\frac{hc}{{\lambda }_{12}}$

gdzie:

${\lambda }_{12}$ - długość fali dla fotonu emitowanego przy przejściu z 2 na 1 orbitę.

$E_{23}=\frac{hc}{{\lambda }_{23}}$

gdzie:

${\lambda }_{23}$ - długość fali dla fotonu emitowanego przy przejściu z 3 na 2 orbitę.

Jak wcześniej udowodniliśmy, wiemy, że społniona jest równość:

$E_{31}=E_{23}+E_{12}$

Podstawiając zapisane przez nas wcześniej wzory:

$\frac{hc}{{\lambda }_{31}}=\frac{hc}{{\lambda }_{23}}+\frac{hc}{{\lambda }_{12}}$

Upraszamy powyższe równanie i przekształcamy je tak, aby otrzymać wzór na długość fali absorbowanego fotonu:

$\frac{hc}{{\lambda }_{31}}=\frac{hc}{{\lambda }_{23}}+\frac{hc}{{\lambda }_{12}}|:hc$

$\frac{1}{{\lambda }_{31}}=\frac{1}{{\lambda }_{23}}+\frac{1}{{\lambda }_{12}}$

$\frac{1}{{\lambda }_{31}}=\frac{{\lambda }_{12}}{{\lambda }_{23}{\lambda }_{12}}+\frac{{\lambda }_{23}}{\lambda {}_{23}{\lambda }_{12}}$

$\frac{1}{{\lambda }_{31}}=\frac{{\lambda }_{12}+{\lambda }_{23}}{{\lambda }_{23}{\lambda }_{12}}$

Odwracamy obie strony równania:

${\lambda }_{31}=\frac{{\lambda }_{23}{\lambda }_{12}}{{\lambda }_{23}+{\lambda }_{12}}$

Jak widzimy długość abosrbowanego fotonu nie jest równa sumie długośći poszczególnych fal.

Odpowiedź: Energia absorbownego fotonu jest równa sumie energii fotonów emitowanych ale długość fali fotonu abosrbowanego nie jest równa sumie długości fal emitowanych.