Naszym zadaniem jest wyprowadzenie zależności pomiędzy długościami fal w poszczególnych ośrodkach, miary kąta padania oraz grubości obszaru 2. Chcemy otrzymać wzór:

$\boxed{x=\frac{d}{\sqrt{1-{\left(\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}\cdot \sin \alpha \right)}^2}}}$

gdzie:

$x$ - odcinek pomiędzy punktem padania fali na granicę ośrodków 1 i 2, a punktem padania fali na granicę ośrodków 2 i 3, 

$d$ - grubość ośrodka 2, 

${\lambda }_1$ - długość fali w ośrodku 1, 

${\lambda }_2$ - długość fali w ośrodku 2, 

$\alpha$ - kąt padania na granicę ośrodków 1 i 2. 

Korzystając z prawa załamania (prawo Snella) wiemy, że stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania jest dla dwóch danych ośrodków wielkością stałą, równą stosunkowi szybkości fali w tych ośrodkach:

$\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{v_1}{v_2}$

gdzie:

$\alpha$ - kąt padania,

$\beta$ - kąt załamania,

$v_1$ - szybkość fali w ośrodku padania,

$v_2$ - szybkość fali w ośrodku załamania.

Wiemy również, że szybkość fali, w zależności od jej długości i częstotliwości możemy przedstawić wzorem:

$v=\lambda f$

gdzie:

$v$ - szybkość fali, 

$\lambda$ - długość fali, 

$f$ - częstotliwość. 

Wiemy, że gdy fala zmienia ośrodek, w którym się rozchodzi to nie zmienia się jej częstotliwość. Wówczas otrzymamy, że:

$v_1={\lambda }_{1}f$

$v_2={\lambda }_{2}f$

gdzie:

${\lambda }_1$ - długość fali w ośrodku padania, 

 ${\lambda }_2$ - długość fali w ośrodku, w którym się załamuje. 

Skorzystajmy z rysunku dołączonego do zadania, aby określić 

gdzie:

$y$ - odległość od normalnej do punktu padania fali na granicę obszarów 2 i 3. 

Z rysunku oraz z funkcji trygonometrycznych wynika, że:

$\sin \beta =\frac{y}{x}$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:

$d^2+y^2=x^2|-d^2$

$y^2=x^2-d^2|\sqrt{}$

$y=\sqrt{x^2-d^2}$

Zatem:

$\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{v_1}{v_2}$

$\frac{\sin \alpha }{\frac{y}{x}}=\frac{{\lambda }_1\cancel{f}}{{\lambda }_2\cancel{f}}$

$\frac{x\sin \alpha }{y}=\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_2}$

$\frac{x\sin \alpha }{\sqrt{x^2-d^2}}=\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_2}$

Podnosimy równanie stronami do kwadratu, aby otrzymać $x$ w tej samej potędze:

$\frac{x^2{\sin }^2\alpha }{x^2-d^2}=\frac{{\lambda }_1^2}{{\lambda }_2^2}$

Wymnażamy równanie na krzyż:

${\lambda }_1^2\left(x^2-d^2\right)={\lambda }_2^2{x}^2{\sin }^2\alpha$

${\lambda }_1^2{x}^2-{\lambda }_1^2{d}^2={\lambda }_2^2{x}^2{\sin }^2\alpha |-{\lambda }_2^2{x}^2{\sin }^2\alpha +{\lambda }_1^2{d}^2$

${\lambda }_1^2{x}^2-{\lambda }_2^2{x}^2{\sin }^2\alpha ={\lambda }_1^2{d}^2$

${\lambda }_1^2{x}^2\left(1-\frac{{\lambda }_2^2}{{\lambda }_1^2}\cdot {\sin }^2\alpha \right)={\lambda }_1^2{d}^2|:{\lambda }_1^2\left(1-\frac{{\lambda }_2^2}{{\lambda }_1^2}\cdot {\sin }^2\alpha \right)$

$x^2=\frac{\cancel{{\lambda }_1^2}{d}^2}{\cancel{{\lambda }_1^2}\left(1-\frac{{\lambda }_2^2}{{\lambda }_1^2}\cdot {\sin }^2\alpha \right)}$

$x^2=\frac{d^2}{1-{\left(\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}\cdot \sin \alpha \right)}^2}|\sqrt{}$

$x=\sqrt{\frac{d^2}{1-{\left(\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}\cdot \sin \alpha \right)}^2}}$

$x=\frac{d}{\sqrt{1-{\left(\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}\cdot \sin \alpha \right)}^2}}$

Co należało wyprowadzić!