Uwaga! W odpowiedziach do zadania, na rysunku, źle zaznaczono kierunek przyspieszenia lewego ciężarka, zadanie następnie rozwiązano, przyjmując ruch lewego ciężarka w górę.

Dane:

$m_1=0,2\text{kg}$ 

$m_2=0,1\text{kg}$

$a_1=0,19\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

$R_1=3\text{cm}=0,03\text{m}$ 

$R_2=8\text{cm}=0,08\text{m}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

Szukane:

$I_1=?$

Rozwiązanie:

Przyjmijmy, że ciężarek po lewej stronie porusza się w górę.  Ciężarki poruszają się z przyspieszeniem, a bloczek z przyspieszeniem kątowym. Zatem będziemy korzystać z II zasady dynamiki Newtona dla ruchu postępowego oraz z II zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego.

gdzie:

$\overrightarrow{F_{c1}},\overrightarrow{F_{c2}}$ - siły ciężkości działające na ciężarki,

$m_1,m_2$ - masy ciężarków,

$\overrightarrow{N_1},\overrightarrow{N_2}$ - siły napięcia nitek między ciężarkami a bloczkiem,

$R_1$ - promień wewnętrznej części bloczka,

$R_2$ - promień zewnętrznej części bloczka.

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego otrzymujemy:

$I\epsilon =M$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności układu bryły sztywnej wykonującej ruch obrotowy, 

$\epsilon$ - wartość przyspieszenia kątowego bryły sztywnej, 

$M$ - wartość wypadkowego momentu sił działających na układ.

Wartość momentu siły obracającej się bryły sztywnej dla przypadku, gdy siła jest prostopadła do ramienia, odległości od osi obrotu możemy przedstawić wzorem:

$M=rF$

gdzie:

$M$ - wartość momentu siły bryły sztywnej,

$F$ - wartość siły działającej na bryłę sztywną,

$r$ - odległość od osi obrotu bryły (długość ramienia siły).

Zatem wartość wypadkowego momentu siły możemy zapisać:

$M=N_2{R}_2-N_1{R}_1=Iϵ$

gdzie:

$N_1$ - wartość siły naciągu nitki między lewym ciężarkiem a bloczkiem,

$N_2$ - wartość siły naciągu nitki między prawym ciężarkiem a bloczkiem,

$R_1$ - promień wewnętrznej części bloczka,

$R_2$ - promień zewnętrznej części bloczka.

Wartość przyspieszenia kątowego ciała w zależności od przyspieszenia liniowego ma postać:

$\epsilon =\frac{a}{r}$

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia liniowego w danym punkcie ciała, 

$r$ - promień okręgu, po jakim porusza się rozważany punkt tego ciała.

Zatem dla naszego układu możemy zapisać:

$N_2{R}_2-N_1{R}_1=I\frac{a_1}{R_1}$

gdzie:

$a_1$ - wartość przyspieszenia prawego ciężarka.

Skorzystajmy z II zasady dynamiki Newtona dla ruchu postępowego ciężarków.  

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona wiemy, że przyspieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do siły wypadkowej działającej na to ciało. Wartość siły wypadkowej działającej na ciało możemy przedstawić wzorem:

$F_{\text{wyp.}}=ma$

gdzie:

$F_{\text{wyp.}}$ - wartość siły wypadkowej,

$m$ - masa ciała, 

$a$ - wartość przyspieszenia, z jakim układ się porusza. 

Dla lewego ciężarka zapiszemy:

$F_{\text{wyp}1}=m_1{a}_1$

gdzie:

$F_{\text{wyp1}}$ - wartość siły wypadkowej dla lewego ciężarka,

$m_1$ - masa lewego ciężarka, 

$a_1$ - wartość przyspieszenia, z jakim porusza się lewy ciężarek. 

Na lewy ciężarek działa siła naciągu nitki skierowana w górę oraz siła ciężkości skierowana w dół, przyjęliśmy, że lewy ciężarek porusza się w górę, zatem:

$F_{\text{wyp1}}=N_1-F_{c1}$

gdzie:

$F_{c1}$ - wartość siły ciężkości działająca na lewy ciężarek,

$N_1$ - wartość siły naciągu nitki działająca na lewy ciężarek.

Zatem:

$N_1-F_{c1}=m_1{a}_1$

Wyznaczmy niewiadomą $N_1$:

$N_1=F_{c1}+m_1{a}_1$

Powtórzmy rozumowanie dla prawego ciężarka. Na prawy ciężarek działa siła naciągu nitki skierowana w górę oraz siła ciężkości skierowana w dół, ciężarek porusza się w dół.

$F_{\text{wyp2}}=m_2{a}_2$

gdzie:

$F_{\text{wyp2}}$ - wartość siły wypadkowej dla prawego ciężarka,

$m_2$ - masa prawego ciężarka, 

$a_2$ - wartość przyspieszenia, z jakim porusza się prawy ciężarek. 

$F_{\text{wyp2}}=F_{c2}-N_2$

gdzie:

$F_{c2}$ - wartość siły ciężkości działająca na lewy ciężarek,

$N_2$ - wartość siły naciągu nitki działająca na lewy ciężarek.

Zatem:

$F_{c2}-N_2=m_2{a}_2$

Wyznaczmy niewiadomą $N_2$:

$N_2=F_{c2}-m_2{a}_2$

Podstawmy $N_2$ oraz $N_1$ do wzoru otrzymanego za wykorzystaniem II zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego:

$\left(F_{c2}-m_2{a}_2\right)R_2-\left(F_{c1}+m_1{a}_1\right)R_1=I\frac{a_1}{R_1}$

Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$F_c=mg$ 

gdzie:

$F_c$ - wartość siły ciężkości,

$m$ - masa ciała, 

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Zatem:

$F_{c1}=m_{1}g$ 

gdzie:

$F_{c1}$ - wartość siły ciężkości działającej na lewy ciężarek,

$m_1$ - masa lewego ciężarka.

$F_{c2}=m_{2}g$

gdzie:

$F_{c2}$ - wartość siły ciężkości działającej na prawy ciężarek,

$m_2$ - masa prawego ciężarka.

Zatem podstawiając:

$\left(m_{2}g-m_2{a}_2\right)R_2-\left(m_{1}g+m_1{a}_1\right)R_1=I\frac{a_1}{R_1}$

Przyspieszenia, z jakim poruszają się ciężarki, co do wartości są takie same:

$a_1=a_2$

gdzie:

$a_1$ - wartość przyspieszenia lewego ciężarka,

$a_2$ - wartość przyspieszenia prawego ciężarka.

Wówczas: 

$\left(m_{2}g-m_2{a}_2\right)R_2-\left(m_{1}g+m_1{a}_1\right)R_1=I\frac{a_1}{R_1}$

$m_2\left(g-a_1\right)R_2-m_1\left(g+a_1\right)R_1=I\frac{a_1}{R_1}|\cdot \frac{R_1}{a_1}$

$\frac{R_1}{a_1}\left[m_2\left(g-a_1\right)R_2-m_1\left(g+a_1\right)R_1\right]=I$

$I=\frac{R_1}{a_1}\left[m_2\left(g-a_1\right)R_2-m_1\left(g+a_1\right)R_1\right]$

Podstawmy wartości liczbowe:

$I=\frac{0,03\text{m}}{0,19\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}\left[0,1\text{kg}\left(9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}-0,19\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\right)0,08\text{m}-0,2\text{kg}\left(9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}+0,19\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\right)0,03\text{m}\right]=$

$=\frac{0,03{\text{s}}^2}{0,19}\left[0,1\text{kg}\cdot 9,62\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,08\text{m}-0,2\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,03\text{m}\right]=$

$\approx \frac{0,03{\text{s}}^2}{0,19}\left[0,077\text{kg}\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}-0,06\text{kg}\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}\right]\approx$

$\approx \frac{0,03\cancel{{\text{s}}^2}}{0,19}\cdot 0,017\text{kg}\frac{{\text{m}}^2}{\cancel{{\text{s}}^2}}\approx$

$\approx 0,0027\text{kg}{\text{m}}^2$

Odpowiedź: Moment bezwładności ruchomej części bloczka wynosi 0,0027 kg m².