Dane:

$m=60\text{kg}$  

$g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

$\beta =2\alpha$

Szukane:

$N_{\text{A}}=?$

$N_{\text{B}}=?$  

Rozwiązanie:  

Chłopiec będzie działał na linę z siłą równą jego sile ciężkości. Zaznaczmy na rysunku siły działające na linę:

gdzie:

${\vec{F}}_{\text{g}}$   - siła ciężkości chłopaka,

${\vec{N}}_{\text{A}}$   - siła naciągu liny w punkcie A,

${\vec{N}}_{\text{B}}$   - siła naciągu liny w punkcie B.

 

Z założenia w treści zadania wiemy, że:

$\beta =2\alpha$  

 

Korzystając z własności funkcji trygonometrycznych możemy zapisać:

$\sin \alpha =\frac{N_A}{F_g}$, czyli $N_A=F_g\sin \alpha$

$\cos \alpha =\frac{N_B}{F_g}$, czyli $N_B=F_g\cos \alpha$ 

$\sin \beta =\frac{N_B}{F_g}$, czyli $N_B=F_g\sin \beta$   

$\cos \beta =\frac{N_A}{F_g}$, czyli $N_A=F_g\cos \beta$   

 

Wyznaczmy wartość sinusa kąta $\alpha$  biorąc pod uwagę fakt, że wartość siły $N_A$ jest stała a w powyższych równaniach opisaliśmy ją przy pomocy dwóch funkcji trygonometrycznych:

$F_g\cos \alpha =F_g\sin \beta \mid :F_g$  

$\cos \alpha =\sin \left(2\alpha \right)$  

Korzystając z własności trygonometrycznej:

$\cos \alpha =2\sin \alpha \cos \alpha \mid :\cos \alpha$  

$1=2\sin \alpha \mid :2$  

$\sin \alpha =\frac{1}{2}$  

Wówczas kosinus tego kąta wyznaczymy z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{1}{4}+{\cos }^2\alpha =1\mid -\frac{1}{4}$  

${\cos }^2\alpha =\frac{3}{4}\mid \sqrt{}$  

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$  

 

Siła ciężkości z jaką chłopiec działa na linę wynosi:

$F_{\text{g}}=mg$

gdzie:

$F_{\text{g}}$   - wartość siły ciężkości,

$m$   - masa chłopaka,

$g$   -  wartość przyspieszenia ziemskiego.

 

Wówczas wartość siły naciągu liny w punktach A i B wynosi:

$N_A=mg\sin \alpha$  

$N_A=60\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \frac{1}{2}=300\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=300\text{N}$  

$N_B=mg\cos \alpha$  

$N_B=60\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=300\sqrt{3}\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\approx 300\cdot 1,732\text{N}=519,6\text{N}$  

Odpowiedź: Wartość siły naciągu liny w punkcie A wynosi $300\text{N}$, a w punkcie B $519,6\text{N}$.