Wyprowadź wzór przedstawiający zależność...- Zadanie 7.1: Nowa Teraz Matura. Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Dane:

$A$

$T$

Szukane:

$v (x) = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyprowadzenie wzoru na zależność $v (x)$ .

Dla małych wychyleń słuszny jest wzór:

RUCH DRGAJĄCY - POŁOŻENIE

Wychylenie ciała w ruchu drgającym przedstawiamy zależnością:

$x (t) = A sin (ω t + φ)$

gdzie:

$x$ - wychylenie ciała po zadanym czasie,

$t$ - czas,

$A$ - amplituda,

$ω$ - częstość drgań,

$φ$ - faza ruchu.

Zadanie nie podaje informacji o fazie początkowej ruchu zatem przyjmujemy że wynosi zero - zaczynamy obserwacje od maksymalnego wychylenia (faza początkowa mówi nam, z jakiego punktu ruchu zaczynamy obserwację wahadła). Powyższy wzór uprości się zatem do postaci:

$x (t) = A sin (ω t)$

Dla uproszczenia zapisu w dalszym rozwiązaniu zastosujemy postać:

$x = A sin (ω t) ∣ : A$

$\frac{x}{A} = sin (ω t)$

Zamieniamy stronami:

$sin (ω t) = \frac{x}{A}$

RUCH DRGAJĄCY - WARTOŚĆ PRĘDKOŚCI

Wartość prędkości ciała po określonym czasie w ruchu drgającym przedstawiamy zależnością:

$v (t) = A ω cos (ω t + φ)$

gdzie:

$v$ - wartość prędkości ciała po zadanym czasie,

$t$ - czas,

$A$ - amplituda,

$ω$ - częstość drgań,

$φ$ - faza ruchu.

Przyjmujemy fazę początkową równą zero (wyjaśniliśmy to wcześniej). Powyższy wzór uprości się zatem do postaci:

$v (t) = A ω cos (ω t)$

Dla uproszczenia zapisu w dalszym rozwiązaniu zastosujemy postać:

$v = A ω cos (ω t) ∣ : A ω$

$\frac{v}{A ω} = cos (ω t)$

Zamieniamy stronami:

$cos (ω t) = \frac{v}{A ω}$

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$

U nas:

$α = ω t$

Zatem zapiszemy:

$sin^{2} (ω t) + cos^{2} (ω t) = 1$

Po podstawieniu wcześniej wykazanych zależności:

$(\frac{x}{A})^{2} + (\frac{v}{A ω})^{2} = 1$

$\frac{x ^{2}}{A ^{2}} + \frac{v ^{2}}{A ^{2} ω ^{2}} = 1 \cdot A^{2} ω^{2}$

$\frac{x ^{2} A ^{2} ω ^{2}}{A ^{2}} + \frac{v ^{2} A ^{2} ω ^{2}}{A ^{2} ω ^{2}} = A^{2} ω^{2}$

$x^{2} ω^{2} + v^{2} = A^{2} ω^{2} - x^{2} ω^{2}$

$v^{2} = A^{2} ω^{2} - x^{2} ω^{2}$

$v^{2} = ω^{2} (A^{2} - x^{2})$

$v = ω^{2} (A^{2} - x^{2})$

$v = ω (A^{2} - x^{2})$

WARTOŚĆ PRĘDKOŚCI KĄTOWEJ

Wartość prędkości kątowej ciała w ruchu po okręgu możemy przedstawić za pomocą wzoru:

$ω = \frac{2 π}{T}$

gdzie:

$ω$ - szybkość kątowa ciała,

$π$ - liczba pi,

$T$ - okres ruchu tego ciała.

Podstawiamy powyższy wzór do wcześniejszego:

$v = \frac{2 π}{T} (A^{2} - x^{2})$

Otrzymaliśmy zależność $v (x)$ , dlatego $x$ ma pozostać we wzorze jako zmienna. Zadanie podaje, że pozostałe wielkości we wzorze czyli $A i T$ są dane.