Dane:

$v_1=84\frac{\text{km}}{\text{h}}$

$s_2=30\text{km}$

$t_2=15\text{min}=\frac{1}{4}\text{h}$

$v_{\acute{s}r}=104\frac{\text{km}}{\text{h}}$

Szukane:

$t_c=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie czasu trwania całej podróży $t_c$. Zadanie podaje czas trwania etapu II, zatem potrzebujemy obliczyć czas trwania etapu I.

ŚREDNIA SZYBKOŚĆ Średnia szybkość ruchu jest stosunkiem całkowitej drogi przebytej przez ciało do całkowitego czasu ruchu: $v_{\text{sˊr}}=\frac{s_c}{t_c}$ gdzie: $v_{\text{sˊr}}$ - średnia szybkość,  $s_c$ - całkowita droga, jaką pokonało ciało, $t_c$ - całkowity czas ruchu ciała.

Podróż składa się z dwóch etapów:

• I etap: droga $s_1$ została pokonana w czasie $t_1$
• II etap: droga $s_2$ została pokonana w czasie $t_2$

Całkowita droga pokonana przez samochód będzie wynosić:

$s_c=s_1+s_2$

Czas trwania podróży zapiszemy jako:

$t_c=t_1+t_2$

Wzór na szybkość średnią przyjmie zatem postać:

$v_{\text{sˊr}}=\frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}$

W pierwszym etapie ruchu samochodu średnią szybkość wyrazimy jako:

$v_1=\frac{s_1}{t_1}$

gdzie:

$v_1$ - średnia szybkość w I etapie ruchu, 

$s_1$ - droga, jaką pokonał samochód,

$t_1$ - czas ruchu samochodu.

Przekształcamy powyższy wzór celem wyznaczenia drogi $s_1$:

$v_1=\frac{s_1}{t_1}|\cdot t_1$

Zamieniamy stronami:

$s_1=v_1{t}_1$

Podstawiamy powyższy wzór do zależności na średnią szybkość: 

$v_{\text{sˊr}}=\frac{v_1{t}_1+s_2}{t_1+t_2}$

Przekształcamy powyższy wzór celem wyznaczenia czasu $t_1$:

$v_{\text{sˊr}}=\frac{v_1{t}_1+s_2}{t_1+t_2}|\cdot \left(t_1+t_2\right)$

$v_{\text{sˊr}}\left(t_1+t_2\right)=v_1{t}_1+s_2$

$v_{\text{sˊr}}{t}_1+v_{\text{sˊr}}{t}_2=v_1{t}_1+s_2$

Grupujemy:

$v_{\text{sˊr}}{t}_1-v_1{t}_1=s_2-v_{\text{sˊr}}{t}_2$

Wyciągamy $t_1$ przed nawias:

$t_1\left(v_{\text{sˊr}}-v_1\right)=s_2-v_{\text{sˊr}}{t}_2|:\left(v_{\text{sˊr}}-v_1\right)$

$t_1=\frac{s_2-v_{\text{sˊr}}{t}_2}{\left(v_{\text{sˊr}}-v_1\right)}$

Podstawiamy i obliczamy:

$t_1=\frac{30\text{km}-104\frac{\text{km}}{\cancel{\text{h}}}\cdot \frac{1}{4}\cancel{\text{h}}}{\left(104\frac{\text{km}}{\text{h}}-84\frac{\text{km}}{\text{h}}\right)}=$

$=\frac{30\text{km}-26\text{km}}{20\frac{\text{km}}{\text{h}}}=\frac{4\text{km}}{20\frac{\text{km}}{\text{h}}}=$

$=\frac{1}{5}\cancel{\text{km}}\cdot \frac{\text{h}}{\cancel{\text{km}}}=0,2\text{h}$

Obliczamy czas trwania całej podróży:

$t_c=t_1+t_2$

$t_c=0,2\text{h}+\frac{1}{4}\text{h}=0,2\text{h}+0,25\text{h}=$

$=0,45\text{h}=0,45\cdot 60\text{min}=27\text{min}$

 Odpowiedź: Cała podróż trwała $27\text{min}$.