Dane:

$d=\frac{1}{200}\text{mm}=0,005\text{mm}=5\cdot {10}^{-6}\text{m}$  

$l=2\text{m}$  

${\lambda }_f=350\text{nm}=350\cdot {10}^{-9}\text{m}=3,5\cdot {10}^{-7}\text{m}$  

${\lambda }_c=720\text{nm}=720\cdot {10}^{-9}\text{m}=7,2\cdot {10}^{-7}\text{m}$  

Szukane:

$\Delta x=?$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie odległości pomiędzy środkiem prążka czerwonego pierwszego rzędu a środkiem prążka fioletowego pierwszego rzędu.

Światło białe padające na siatkę dyfrakcyjną załamuje się i rozszczepia na wiele kolorów. Najbliżej prążka pierwszego rzędu padają fale o najmniejszej długości, a najdalej o największej, zaś prążek zerowy ma barwę białą:

SIATKA DYFRAKCYJNA Wzór wiążący kąt, pod jakim obserwujemy prążek n-tego rzędu z długością fali padającego promieniowania i stałą siatki dyfrakcyjnej ma postać: $n\lambda =d\sin {\alpha }_n$ gdzie: $n$ - numer rzędu obserwowanego prążka, $\lambda$ - długość fali padającego promieniowania, $d$ - stała siatki dyfrakcyjnej, ${\alpha }_n$ - kąt, pod jakim obserwujemy prążek n-tego rzędu.

W naszym przypadku mamy prążki pierwszego rzędu, czyli dla prążka czerwonego i fioletowego możemy zapisać, że:

▶ Pierwszy prążek fali czerwonej

${\lambda }_c=d\text{sin}{\alpha }_c$

Wówczas:

${\lambda }_c=d\text{sin}{\alpha }_c\text{| : }d$

$\text{sin}{\alpha }_c=\frac{{\lambda }_c}{d}$  

▶ Pierwszy prążek fali fioletowej

${\lambda }_f=d\text{sin}{\alpha }_f$  

Wówczas:

${\lambda }_f=d\text{sin}{\alpha }_f\text{| : }d$  

$\text{sin}{\alpha }_f=\frac{{\lambda }_f}{d}$  

Z własności funkcji trygonometrycznych (oraz korzystając z rysunku) wyznaczmy odległości prążka czerwonego od prążka zerowego:

$\text{sin}{\alpha }_c=\frac{x_c}{s_c}$  

$s_c$ wyznaczamy korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$\text{sin}{\alpha }_c=\frac{x_c}{\sqrt{l^2+x_c^2}}{|}^2$  

${\text{sin}}^2{\alpha }_c=\frac{x_c^2}{l^2+x_c^2}\mid \cdot \left(l^2+x_c^2\right)$  

${\text{sin}}^2{\alpha }_c\left(l^2+x_c^2\right)=x_c^2$  

${\text{sin}}^2{\alpha }_c{l}^2+{\text{sin}}^2{\alpha }_c{x}_c^2=x_c^2\mid -{\text{sin}}^2{\alpha }_c{x}_c^2$  

${\text{sin}}^2{\alpha }_c{l}^2=x_c^2-{\text{sin}}^2{\alpha }_c{x}_c^2$  

${\text{sin}}^2{\alpha }_c{l}^2=x_c^2\left(1-{\text{sin}}^2{\alpha }_c\right)\mid :\left(1-{\text{sin}}^2{\alpha }_c\right)$  

$\frac{{\text{sin}}^2{\alpha }_c{l}^2}{1-{\text{sin}}^2{\alpha }_c}=x_c^2\mid \sqrt{}$  

$x_c=\sqrt{\frac{{\text{sin}}^2{\alpha }_c{l}^2}{1-{\text{sin}}^2{\alpha }_c}}$  

$x_c=\frac{l\text{sin}{\alpha }_c}{\sqrt{1-{\text{sin}}^2{\alpha }_c}}$  

Po podstawieniu wcześniej wykazanych zależności otrzymujemy:

$x_c=\frac{l\cdot \frac{{\lambda }_c}{d}}{\sqrt{1-{\left(\frac{{\lambda }_c}{d}\right)}^2}}$  

$x_c=\frac{l{\lambda }_c}{d\sqrt{\frac{d^2}{d^2}-\frac{{\lambda }_c^2}{d^2}}}$  

$x_c=\frac{l{\lambda }_c}{d\sqrt{\frac{d^2-{\lambda }_c^2}{d^2}}}$  

$x_c=\frac{l{\lambda }_c}{d\cdot \frac{1}{d}\sqrt{d^2-{\lambda }_c^2}}$  

$x_c=\frac{l{\lambda }_c}{\sqrt{d^2-{\lambda }_c^2}}$  

W analogiczny sposób wyznaczamy odległość pierwszego fioletowego prążka od prążka zerowego:

$\text{sin}{\alpha }_f=\frac{x_f}{s_f}$  

$\text{sin}{\alpha }_f=\frac{x_f}{\sqrt{l^2+x_f^2}}$

$x_f=\frac{l\text{sin}{\alpha }_f}{\sqrt{1-{\text{sin}}^2{\alpha }_f}}$  

$x_f=\frac{l\cdot \frac{{\lambda }_f}{d}}{\sqrt{1-{\left(\frac{{\lambda }_f}{d}\right)}^2}}$  

$x_f=\frac{l{\lambda }_f}{\sqrt{d^2-{\lambda }_f^2}}$  

Wówczas odległość pomiędzy prążkiem czerwonym pierwszego rzędu, a prążkiem fioletowym pierwszego rzędu ma postać:

$\Delta x=x_c-x_f$  

$\Delta x=\frac{l{\lambda }_c}{\sqrt{d^2-{\lambda }_c^2}}-\frac{l{\lambda }_f}{\sqrt{d^2-{\lambda }_f^2}}$  

$\Delta x=l\left[\frac{{\lambda }_c}{\sqrt{d^2-{\lambda }_c^2}}-\frac{{\lambda }_f}{\sqrt{d^2-{\lambda }_f^2}}\right]$  

$\Delta x=l\left[\frac{{\lambda }_c}{\sqrt{d^2\left(1-\frac{{\lambda }_c^2}{d^2}\right)}}-\frac{{\lambda }_f}{\sqrt{d^2\left(1-\frac{{\lambda }_f^2}{d^2}\right)}}\right]$

$\Delta x=l\left[\frac{{\lambda }_c}{d\sqrt{1-\frac{{\lambda }_c^2}{d^2}}}-\frac{{\lambda }_f}{d\sqrt{1-\frac{{\lambda }_f^2}{d^2}}}\right]$  

$\Delta x=\frac{l}{d}\left[\frac{{\lambda }_c}{\sqrt{1-{\left(\frac{{\lambda }_c}{d}\right)}^2}}-\frac{{\lambda }_f}{\sqrt{1-{\left(\frac{{\lambda }_f}{d}\right)}^2}}\right]$  

Podstawiamy dane liczbowe i obliczamy:

$\Delta x=\frac{2\cancel{\text{m}}}{5\cdot {10}^{-6}\cancel{\text{m}}}\cdot \left[\frac{7,2\cdot {10}^{-7}\text{m}}{\sqrt{1-{\left(\frac{7,2\cdot {10}^{-7}\cancel{\text{m}}}{5\cdot {10}^{-6}\cancel{\text{m}}}\right)}^2}}-\frac{3,5\cdot {10}^{-7}\text{m}}{\sqrt{1-{\left(\frac{3,5\cdot {10}^{-7}\cancel{\text{m}}}{5\cdot {10}^{-6}\cancel{\text{m}}}\right)}^2}}\right]=$  

$=0,4\cdot {10}^6\cdot \left[\frac{7,2\cdot {10}^{-7}\text{m}}{\sqrt{1-{\left(1,44\cdot {10}^{-1}\right)}^2}}-\frac{3,5\cdot {10}^{-7}\text{m}}{\sqrt{1-{\left(0,7\cdot {10}^{-1}\right)}^2}}\right]=$  

$=4\cdot {10}^5\cdot \left[\frac{7,2\cdot {10}^{-7}\text{m}}{\sqrt{1-{\left(0,144\right)}^2}}-\frac{3,5\cdot {10}^{-7}\text{m}}{\sqrt{1-{\left(0,07\right)}^2}}\right]=$  

$=4\cdot {10}^5\cdot \left[\frac{7,2\cdot {10}^{-7}\text{m}}{\sqrt{1-0,020736}}-\frac{3,5\cdot {10}^{-7}\text{m}}{\sqrt{1-0,0049}}\right]=$  

$=4\cdot {10}^5\cdot \left[\frac{7,2\cdot {10}^{-7}\text{m}}{\sqrt{0,979264}}-\frac{3,5\cdot {10}^{-7}\text{m}}{\sqrt{0,9951}}\right]\approx$  

$\approx 4\cdot {10}^5\cdot \left[\frac{7,2\cdot {10}^{-7}\text{m}}{1}-\frac{3,5\cdot {10}^{-7}\text{m}}{1}\right]=$  

$=4\cdot {10}^5\cdot \left[7,2\cdot {10}^{-7}\text{m}-3,5\cdot {10}^{-7}\text{m}\right]=4\cdot {10}^5\cdot 3,7\cdot {10}^{-7}\text{m}=$  

$=14,8\cdot {10}^{-2}\text{m}\approx 15\text{cm}$  

Odpowiedź: Odległość pomiędzy prążkami wynosi około $15\text{cm}$.