Dane:

$r=0,5\cdot {10}^{-10}\text{m}$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶  masa spoczynkowa elektronu: $m_e=9,11\cdot {10}^{-31}\text{kg}$ ,

▶ stała elektryczna w próżni: $k=9\cdot {10}^9\text{N}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}$ .

Szukane:

$B=?$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie wartości indukcji pola magnetycznego, tak aby elektron poruszał się po takiej samej orbicie i z taką samą wartością prędkości jak w przypadku atomu wodoru będącego w stanie podstawowym. Na elektron krążący po orbicie atomu wodoru działa siła oddziaływania elektrycznego (Coulomba), która pełni funkcję siły dośrodkowej. Skorzystajmy z prawa Coulomba.

PRAWO COULOMBA Korzystając, z prawa Coulomba wiemy, że wartość siły oddziaływania pomiędzy naładowanymi elektrycznie ciałami możemy obliczyć za pomocą wzoru: $F_{\text{C}}=k\cdot \frac{\left|q_1{q}_2\right|}{r^2}$   gdzie: $F_{\text{C}}$ - wartość siły oddziaływania elektrostatycznego, $k$ - stała elektryczna, $q_1$, $q_2$ - wartości ładunków elektrycznych, $r$ - odległość między ładunkami.

Wiedząc, że co do wartości:

$q_e=q_p=e$  

gdzie:

$e$  - wartość ładunku elementarnego.

Możemy zapisać że:

$F_C=\frac{k{e}^2}{r^2}$  

gdzie:

$F_C$ - wartość siły Coulomba działającej na elektron w atomie wodoru,

$e$ - ładunek elementarny elektronu,

$k$ - stała elektryczna,

$r$ - promień orbity elektronu w atomie wodoru.

Skorzystajmy ze wzoru na wartość siły dośrodkowej:

WARTOŚĆ SIŁY DOŚRODKOWEJ Wartość siły dośrodkowej możemy przedstawić wzorem: $F_d=\frac{m{v}^2}{r}$ gdzie: $F_d$ - wartość siły dośrodkowej działającej na ciało,  $m$ - masa ciała poruszającego się po okręgu,  $v$ - wartość prędkości liniowej ciała poruszającego się po okręgu,  $r$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało.

Porównując te siły wyznaczamy wartość prędkości z jaką porusza się elektron wokół protonu:

$F_d=F_C$  

$\frac{m{v}^2}{\cancel{r}}=\frac{k{e}^2}{r^{\cancel{2}}}$  

gdzie:

$m$ - masa elektronu,

$v$ - wartość prędkości elektronu w atomie wodoru.

$m{v}^2=\frac{k{e}^2}{r^{}}\mid :m$

$v^2=\frac{k{e}^2}{rm}\mid \sqrt{}$  

$v=\sqrt{\frac{k{e}^2}{rm}}$  

Jeżeli elektron porusza się w polu magnetycznym to działa na niego siła Lorentza. Chcemy, aby poruszał się on po takiej samej orbicie, z taką samą wartością prędkości, jak krążąc wokół protonu w atomie wodoru.

WARTOŚĆ SIŁY MAGNETYCZNEJ Siła Lorentza jest siłą magnetyczną działającą na naładowaną elektrycznie cząstkę znajdująca się w jednorodnym polu magnetycznym. Wartość tej siły możemy przedstawić wzorem: $F_L=qvB\sin \alpha$ gdzie: $F_L$ - wartość siły Lorentza, $q$ - wartość ładunku cząstki poruszającej się w polu magnetycznym, $v$ - wartość prędkości cząstki, $B$ - wartość indukcji pola magnetycznego, $\alpha$ - kąt pomiędzy wektorem prędkości, a wektorem indukcji pola.

Zgodnie z poleceniem przyjmujemy, że elektron porusza się w płaszczyźnie prostopadłej do linii pola magnetycznego, oznacza to, że kąt pomiędzy wektorem prędkości, a wektorem indukcji pola magnetycznego wynosi $90^{\circ }$. Sinus kąta $90^{\circ }$ wynosi $1$. Wówczas:

$F_L=evB\sin 90^{\circ }$

$F_L=evB$

gdzie:

$F_L$ - wartość siły Lorentza działającej na elektron,

$e$ - ładunek elementarny elektronu,

$v$ - wartość prędkości elektronu poruszającego się w polu magnetycznym,

$B$ - wartość indukcji pola magnetycznego.

Siła ta również musi pełnić funkcję siły dośrodkowej, aby elektron poruszał się po okręgu.

$F_L=F_d$  

$e\cancel{v}B=\frac{m{v}^{\cancel{2}}}{r}$

gdzie:

$m$ - masa elektronu

$v$ - wartość prędkości elektronu w polu magnetycznym,

$r$ - promień orbity po której poruszał się elektronu w polu magnetycznym.

$eB=\frac{m{v}^{}}{r}\mid :e$  

$B=\frac{m}{er}\cdot v$  

Wstawiamy wyznaczony wzór na wartość prędkości elektronu:

$B=\frac{m}{er}\cdot \sqrt{\frac{k{e}^2}{rm}}$  

$B=\sqrt{\frac{m^2}{e^2{r}^2}}\cdot \sqrt{\frac{k{e}^2}{rm}}$   

$B=\sqrt{\frac{m^2}{e^2{r}^2}\cdot \frac{k{e}^2}{rm}}$   

$B=\sqrt{\frac{m^{\cancel{2}}}{\cancel{e^2}{r}^2}\cdot \frac{k\cancel{e^2}}{r\cancel{m}}}$  

$B=\sqrt{\frac{km}{r^3}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$B=\sqrt{\frac{9\cdot {10}^9\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}\cdot 9,11\cdot {10}^{-31}\text{kg}}{{\left(0,5\cdot {10}^{-10}\text{m}\right)}^3}}=\sqrt{\frac{81,99\cdot {10}^{-22}\frac{\text{N}\cdot \text{kg}\cdot \cancel{{\text{m}}^2}}{{\text{C}}^2}}{0,125\cdot {10}^{-30}{\text{m}}^{\cancel{3}}}}=$  

$=\sqrt{655,92\cdot {10}^8\frac{\text{N}\cdot \text{kg}}{{\text{C}}^2\cdot \text{m}}}=\sqrt{6,5592\cdot {10}^{10}\frac{\text{N}\cdot \text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\text{s}}^2}{{\text{C}}^2\cdot {\text{m}}^2}}=$  

$=\sqrt{6,5592\cdot {10}^{5\cdot 2}\frac{\text{N}\cdot \text{N}\cdot {\text{s}}^2}{{\text{C}}^2\cdot {\text{m}}^2}}=\sqrt{6,5592\cdot {\left({10}^5\right)}^2{\left(\frac{\text{N}\cdot \text{s}}{\text{C}\cdot \text{m}}\right)}^2}=$  

$=\sqrt{6,5592\cdot {\left({10}^5\right)}^2{\text{T}}^2}\approx 2,561094\cdot {10}^5\text{T}\approx 2,56\cdot {10}^6\text{T}$  

Odpowiedź: Indukcja jednorodnego pola magnetycznego powinna wynosić około $2,56\cdot {10}^6\text{T}$ .