Dane:

$R=1\Omega$  

$r=1\Omega$  

$\mathcal{E}=12\text{V}$  

Szukane:

$I_1=?$

$I_2=?$

$I_3=?$

$I=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie natężenia prądu płynącego we wszystkich gałęziach odwodu. 

Zauważmy, że odwód składa się z dwóch rodzajów przewodnika o długościach $x$  oraz długości równej połowie okręgu o średnicy $x$ . Obliczmy długość tego przewodnika. Obwód $s$   całego okręgu o średnicy $x$  ma postać:

$s=2\pi \frac{x}{2}=\pi x$  

Zatem długość $y$   gałęzi wynosi:

$y=\frac{1}{2}s=\frac{1}{2}\pi x$  

OPÓR PRZEWODNIKA Opór elektryczny przewodnika wyrażamy jako: $R=\rho \frac{l}{S}$ gdzie: $R$ - opór elektryczny przewodnika, $\rho$ - opór właściwy materiału, z którego wykonany jest przewodnik, $l$ - długość przewodnika, $S$ - pole przekroju poprzecznego przewodnika.

Na podstawie powyższego wzoru możemy zapisać, że:

$R=\rho \frac{x}{S}$  

gdzie:

$R$   - opór przewodnika o długości $x$,

$\rho$   - opór właściwy,

$x$   - długość przewodnika,

$S$   - pole przekroju poprzecznego przewodnika.

Wiemy, że przewodnik wykonany jest z tego samego rodzaju materiału oraz będzie miał ten sam przekrój. Zatem opór przewodnika o długości $y$  będzie wynosił:

$R_1=\rho \frac{y}{S}$  

gdzie:

$R_1$ - opór przewodnika o długości $y$.

$R_1=\rho \frac{\frac{1}{2}\pi x}{S}$  

$R_1=\frac{1}{2}\pi \rho \frac{x}{S}$  

$R_1=\frac{1}{2}\pi R$  

Wykonajmy schemat uproszczony obwodu i wyznaczmy opór zastępczy całego obwodu:

Przez obwód będzie płyną prąd, który przyjmie trzy wartości natężenia. W gałęzi równoległej prądy $I_1$  i $I_3$  będą miały te same wartości natężenia, ponieważ opory przewodników przez które przepływają są takie same oraz przewodniki te są połączone równoległe, czyli na ich zaciskach jest taka sama równica potencjałów.

Wyznaczamy zatem wartości natężeń:

▶ prądu płynącego przez cały obwód:  $I=?$  

▶ prądu płynącego przez gałęzie o długości $x$  w połączeniu równoległym:  $I_2=?$  

▶ prądu płynącego przez gałęzie o długości $y$  w połączeniu równoległym:  $I_1=I_3=?$  

Zauważmy, że układ składa się z dwóch mniejszych układów oporników połączonych równolegle oraz układu czterech oporników połączonych z pomniejszymi układami szeregowo. Zacznijmy od obliczenia oporu zastępczego oporników połączonych równolegle:

$\frac{1}{R_{\text{roˊw.}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R}+\frac{1}{R_1}$  

gdzie:

$R_{\text{roˊw.}}$ - opór zastępczy układu trzech oporników połączonych równolegle.

$\frac{1}{R_{\text{roˊw.}}}=\frac{1}{\frac{1}{2}\pi R}+\frac{1}{R}+\frac{1}{\frac{1}{2}\pi R}$  

$\frac{1}{R_{\text{roˊw.}}}=\frac{2}{\pi R}+\frac{\pi }{\pi R}+\frac{2}{\pi R}$  

$\frac{1}{R_{\text{roˊw.}}}=\frac{\pi +4}{\pi R}$  

$R_{\text{roˊw.}}=\frac{\pi }{\pi +4}R$  

Zatem opór zastępczy zewnętrzny całego układu wynosi:

$R_z=R+R+R_{\text{roˊw.}}+R_{\text{roˊw.}}+R+R$  

gdzie:

$R_z$ - opór zastępczy całego układu zewnętrznego.

$R_z=2R_{\text{roˊw.}}+4R$  

$R_z=2\cdot \frac{\pi }{\pi +4}R+4R$  

$R_z=\left(\frac{2\pi }{\pi +4}+4\right)R$  

PRAWO OHMA DLA CAŁEGO OBWODU Prawo Ohma dla całego obwodu wyrażamy jako: $I=\frac{\mathcal{E}}{r_w+R}$ gdzie: $I$   - natężenie prądu w obwodzie, $\mathcal{E}$   - SEM źródła napięcia, $r_w$   - opór wewnętrzny, $R$   - opór zewnętrzny w obwodzie.

Korzystając z powyższego wzoru zapiszemy:

$I=\frac{\mathcal{E}}{R_z+r}$  

gdzie:

$I$   - natężenie prądu płynącego przez obwód,

$\mathcal{E}$   - SEM źródła,

$r$   - opór wewnętrzny źródła,

$R_z$   - opór zewnętrzny obwodu.

Z tego wynika, że:

$I=\frac{\mathcal{E}}{\left(\frac{2\pi }{\pi +4}+4\right)R+r}$  

$I=\frac{\mathcal{E}}{\frac{1}{\pi +4}\left(2\pi +4\left(\pi +4\right)\right)R+\left(\pi +4\right)r}$  

$I=\frac{\left(\pi +4\right)\mathcal{E}}{\left(2\pi +4\pi +16\right)R+\left(\pi +4\right)r}$  

$I=\frac{\left(\pi +4\right)\mathcal{E}}{\left(6\pi +16\right)R+\left(\pi +4\right)r}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$I=\frac{\left(3,14+4\right)\cdot 12\text{V}}{\left(6\cdot 3,14+16\right)\cdot 1\Omega +\left(3,14+4\right)\cdot 1\Omega }=\frac{7,14\cdot 12\text{V}}{\left(18,84+16\right)\cdot 1\Omega +7,14\cdot 1\Omega }=$  

$=\frac{85,68\text{V}}{34,84\Omega +7,14\Omega }=\frac{85,68\text{V}}{41,98\Omega }\approx$  

$\approx 2,040971891\frac{\text{V}}{\Omega }\approx 2,04\text{A}$  

Następnie musimy rozważyć spadki napięcia na obwodzie. Wyznaczyliśmy natężenie prądu pomiędzy zaciskami AC oraz w całym obwodzie. Zatem spadek napięcia na baterii będzie wynosił:

$U=R_{z}I$  

gdzie:

$U$ - spadek napięcia na zaciskach baterii.

$U=\left(\frac{2\pi }{\pi +4}+4\right)R\cdot \frac{\left(\pi +4\right)\mathcal{E}}{\left(6\pi +16\right)R+\left(\pi +4\right)r}$  

$U=\left(\frac{2\pi }{\pi +4}+\frac{4\left(\pi +4\right)}{\pi +4}\right)R\cdot \frac{\left(\pi +4\right)\mathcal{E}}{\left(6\pi +16\right)R+\left(\pi +4\right)r}$  

$U=\frac{2\pi +4\pi +16}{\cancel{\pi +4}}R\cdot \frac{\cancel{\left(\pi +4\right)}\mathcal{E}}{\left(6\pi +16\right)R+\left(\pi +4\right)r}$  

$U=\frac{\left(6\pi +16\right)R}{\left(6\pi +16\right)R+\left(\pi +4\right)r}\cdot \mathcal{E}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$U=\frac{\left(6\cdot 3,14+16\right)\cdot 1\Omega }{\left(6\cdot 3,14+16\right)\cdot 1\Omega +\left(3,14+4\right)\cdot 1\Omega }\cdot 12\text{V}=\frac{34,84\Omega }{34,84\Omega +7,14\Omega }\cdot 12\text{V}=$  

$=\frac{34,84\Omega }{41,98\Omega }\cdot 12\text{V}\approx 0,829919\cdot 12\text{V}\approx 9,96\text{V}$  

Stadek napięcia na jednym z oporów, które połączone są szeregowo ze źródłem napięcia będzie miał postać:

$U_{\text{R}}=IR$  

gdzie:

$U_R$ - spadek napięcia na oporze $R$.

$U_{\text{R}}=2,04\text{A}\cdot 1\Omega =2,04\text{A}\cdot \Omega =2,04\text{V}$  

Mamy cztery takie oporniki. Możemy zatem zapisać, że spadek napięcia pomiędzy punktami A i C wynosi:

$U=4U_{\text{R}}+U_{\text{AC}}$  

gdzie:

$U$ - spadek napięcia w całym obwodzie,

$U_R$ - spadek napięcia na pojedynczym oporze,

$U_{\text{AC}}$ - spadek napięcia między punktami A i C.

$U_{\text{AC}}=U-4U_{\text{R}}$  

$U_{\text{AC}}=9,96\text{V}-4\cdot 2,04\text{V}=9,96\text{V}-8,16\text{V}=1,8\text{V}$  

Pomiędzy zaciskami AC włączone są dwa układy oporników o tych samych oporach zastępczych, czyli:

$U_{\text{AC}}=U_{\text{AB}}+U_{\text{BC}}$  

gdzie:

$U_{\text{AB}}$ - spadek napięcia między punktami A i B,

$U_{\text{BC}}$ - spadek napięcia między punktami B i C.

Ponieważ:

$U_{\text{AB}}=I\cdot R_{\text{roˊw.}}\text{ oraz }{U}_{\text{BC}}=I\cdot R_{\text{roˊw.}}$  

To:

$U_{\text{AB}}=U_{\text{BC}}$  

Zatem:

$U_{\text{AC}}=U_{\text{BC}}+U_{\text{BC}}$  

$U_{\text{AC}}=2U_{\text{BC}}$  

$U_{\text{BC}}=\frac{1}{2}{U}_{\text{AC}}$  

$U_{\text{BC}}=\frac{1}{2}\cdot 1,8\text{V}=0,9\text{V}$  

Obliczmy wartość $R_1$ :

$R_1=\frac{1}{2}\cdot 3,14\cdot 1\Omega =1,57\Omega$  

Wówczas:

$I_1=I_3=\frac{U_{\text{BC}}}{R_1}$   

$I_1=I_3=\frac{0,9\text{V}}{1,57\Omega }\approx 0,5732484\frac{\text{V}}{\Omega }\approx 0,57\text{A}$   

Oraz:

$I_2=\frac{U_{\text{BC}}}{R}$  

$I_2=\frac{0,9\text{V}}{1\Omega }=0,9\text{A}$  

Korzystając z prawa Kirchhoffa możemy wykonać sprawdzenie:

$I=I_1+I_2+I_3$  

$2,04\text{A}=0,57\text{A}+0,9\text{A}+0,57\text{A}$  

$2,04\text{A}=2,04\text{A}$  

Otrzymaliśmy sensowne wyniki.

Odpowiedź:

$I_1=I_3=0,57\text{A}$  

$I_2=0,9\text{A}$  

$I=2,04\text{A}$