Instalację elektryczną podłączoną do akumulatora o sile...- Zadanie 6.: Nowa Teraz Matura. Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

1. Zdanie jest PRAWDZIWE, ponieważ natężenie prądu płynącego w obwodzie z dwoma żarówkami nie przekracza natężenia prądu dopuszczalnego przez bezpiecznik.

▶ Siła elektromotoryczna akumulatora: $E = 12 V$

▶ Opór wewnętrzny: $r_{w} = 0, 1 Ω$

▶ Maksymalne natężenie prądu w obwodzie: $I_{max} = 5 A$

▶ Moc pierwszej żarówki: $P_{1} = 2 W$

▶ Moc drugiej żarówki: $P_{2} = 55 W$

MOC PRĄDU ELEKTRYCZNEGO

Moc prądu elektrycznego (urządzenia elektrycznego) obliczamy, korzystając ze wzoru:

$P = U I$

gdzie:

$P$ - moc prądu elektrycznego,

$U$ - napięcie elektryczne,

$I$ - natężenie prądu elektrycznego.

Natężenie prądu przepływającego przez każdą z żarówek miałoby postać:

$P_{1} = I_{1} U, czyli I_{1} = \frac{P _{1}}{U}$

$P_{2} = I_{2} U, czyli I_{2} = \frac{P _{2}}{U}$

gdzie:

$P_{1}, P_{2}$ - moce żarówek,

W przybliżeniu:

$U = E$

Dla pierwszej żarówki otrzymujemy zatem:

$I_{1} = \frac{P _{1}}{U}$

Po podstawieniu:

$I_{1} = \frac{2 W}{12 V} \approx 0, 17 A$

Dla drugiej żarówki:

$I_{2} = \frac{P _{2}}{U}$

Po podstawieniu:

$I_{2} = \frac{55 W}{12 V} \approx 4, 58 A$

Żarówki połączone są ze sobą równolegle, czyli z I prawa Kirchhoffa otrzymujemy, że natężenie prądu płynącego przez ten obwód wynosiłoby wówczas:

$I = I_{1} + I_{2}$

gdzie:

$I$ - całkowite natężenie prądu płynącego w obwodzie.

Podstawiamy i obliczamy:

$I = 0, 17 A + 4, 58 A = 4, 75 A$

Czyli obie żarówki razem "biorą" mniej niż $5 A$ , więc bezpiecznik się nie przepali.

Uwaga!

Można by policzyć całkowite natężenie prądu płynącego w obwodzie dokładniej z uwzględnieniem poprawki spadku napięcia na oporze wewnętrznym, jednak długość obliczeń przekracza czas, który można by przeznaczyć na to zadanie na maturze. Dla zainteresowanych poniżej zostało przedstawione dokładne rozwiązanie.

Spadki napięć na żarówkach będą równe:

$U = E - r_{w} I$

gdzie:

$U$ - spadki napięć na żarówkach,

$E$ - SEM źródła napięcia,

$r_{w}$ - opór wewnętrzy źródła napięcia,

$I$ - natężenie prądu płynącego w obwodzie.

Natężenie prądu przepływającego przez każdą z żarówek miałoby postać:

$P_{1} = I_{1} U, czyli I_{1} = \frac{P _{1}}{U}$

$P_{2} = I_{2} U, czyli I_{2} = \frac{P _{2}}{U}$

gdzie:

$P_{1}, P_{2}$ - moce żarówek,

$I_{1}, I_{2}$ - natężenia prądu płynącego przez żarówki.

Zatem:

$I_{1} = \frac{P _{1}}{E - r _{w} I}$

$I_{2} = \frac{P _{2}}{E - r _{w} I}$

Żarówki połączone są ze sobą równolegle, czyli z I prawa Kirchhoffa otrzymujemy, że natężenie prądu płynącego przez ten obwód wynosiłoby wówczas:

$I = I_{1} + I_{2}$

gdzie:

$I$ - całkowite natężenie prądu płynącego w obwodzie.

Zatem:

$I = \frac{P _{1}}{E - r _{w} I} + \frac{P _{2}}{E - r _{w} I}$

$I = \frac{P _{1} + P _{2}}{E - r _{w} I}$

Zależność na natężenie prądu płynącego w obwodzie nie jest liniowa. Przekształcamy otrzymane równanie.

$I (E - r_{w} I) = P_{1} + P_{2}$

$E I - r_{w} I^{2} = P_{1} + P_{2}$

$- r_{w} I^{2} + E I - P_{1} - P_{2} = 0$

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy rozwiązać. Podstawiamy wartości liczbowe do równania w jednostkach podstawowych Układu SI.

$- 0, 1 \cdot I^{2} + 12 \cdot I - 2 - 55 = 0$

$- 0, 1 \cdot I^{2} + 12 \cdot I - 57 = 0$

Rozwiązujemy powyższe równanie:

$Δ = 1 2^{2} - 4 \cdot (- 0, 1) \cdot (- 57) = 144 - 22, 8 = 121, 2$

$Δ = 121, 2 = 11, 009 1$

Obliczamy pierwiastki tego równania kwadratowego:

$I = \frac{- 12 \pm 11 , 0091}{2 \cdot ( - 0 , 1 )} = \frac{- 12 \pm 11 , 0091}{- 0 , 2} = 60 \pm 55, 0455$

Zatem otrzymujemy dwie możliwe wartości natężenia prądu płynącego w obwodzie.

$I = 115, 0455 A$

$I^{'} = 4, 9545 A$

Natężenie prądu płynącego w obwodzie jest wymuszane przez opory odbiorników włączonych do tego obwodu. Sprawdźmy jakie wartości oporów wynikają z obliczonych natężeń prądów aby rozstrzygnąć, która z obliczonych wartości natężenia prądu jest realna.

Moc pierwszej żarówki wyraziliśmy jako:

$P_{1} = I_{1} U$

Zgodnie z prawem Ohma zapisujemy:

$I_{1} = \frac{U}{R _{1}}$

gdzie:

$R_{1}$ - opór pierwszej żarówki.

Stąd:

$P_{1} = \frac{U}{R _{1}} \cdot U$

$P_{1} = \frac{U ^{2}}{R _{1}}$

Korzystamy z zależności na napięcie zasilające żarówkę.

$P_{1} = \frac{( E - r _{w} I ) ^{2}}{R _{1}}$

Wyznaczamy zależność na opór żarówki.

$P_{1} R_{1} = (E - r_{w} I)^{2}$

$R_{1} = \frac{( E - r _{w} I ) ^{2}}{P _{1}}$

Analogiczne równanie otrzymamy na opór drugiej żarówki.

$R_{2} = \frac{( E - r _{w} I ) ^{2}}{P _{2}}$

Obliczamy wartości oporów żarówek, jakie spowodowałyby przepływ prądu $I$ oraz $I^{'}$ w obwodzie.

▶ Dla wartości natężenia prądu: $I = 115, 0455 A$

$R_{1} = \frac{( 12 V - 0 , 1 Ω \cdot 115 , 0455 A ) ^{2}}{2 W} = \frac{( 0 , 49545 V ) ^{2}}{2 W} \approx \frac{0 , 24547 V ^{2}}{2 W} \approx 0, 123 Ω$

$R_{2} = \frac{( 12 V - 0 , 1 Ω \cdot 115 , 0455 A ) ^{2}}{55 W} = \frac{( 0 , 49545 V ) ^{2}}{55 W} \approx \frac{0 , 24547 V ^{2}}{55 W} \approx 0, 004 Ω$

▶ Dla wartości natężenia prądu: $I^{'} = 4, 9545 A$

$R_{1}^{'} = \frac{( 12 V - 0 , 1 Ω \cdot 4 , 9545 A ) ^{2}}{2 W} = \frac{( 11 , 50455 V ) ^{2}}{2 W} \approx \frac{132 , 35467 V ^{2}}{2 W} \approx 66, 2 Ω$

$R_{2}^{'} = \frac{( 12 V - 0 , 1 Ω \cdot 4 , 9545 A ) ^{2}}{55 W} = \frac{( 11 , 50455 V ) ^{2}}{55 W} \approx \frac{132 , 35467 V ^{2}}{55 W} \approx 2, 4 Ω$

Zauważamy, że pierwszym przypadku opory wymuszające duże natężenie prądu są bardzo małe. W praktyce nie jest możliwe skonstruowanie żarówek o takich oporach. Typowe wartości oporów żarówek otrzymujemy w drugim przypadku, kiedy przez obwód płynie mniejsze natężenie prądu (natężenie to jest mniejsze od 5 A). Drugi przypadek opisuje fizyczne parametry żarówek omawianych w zadaniu.

Zatem bezpiecznik dopuszczający maksymalne natężenie prądu w obwodzie wynoszące 5 A umożliwi jednoczesną pracę takich żarówek.

2. Zdanie jest FAŁSZYWE, ponieważ jeżeli odłączymy jedną żarówkę to spowodujemy zmianę oporu zewnętrznego w obwodzie. To spowoduje zmianę natężenia prądu płynącego przez układ, co z kolei wpłynie na zmianę spadku napięcia na oporze wewnętrznym.

Prawo Ohma dla całego obwodu ma postać:

$U = E - r_{w} I$

gdzie:

$U$ - napięcie na zaciskach akumulatora,

$E$ - SEM źródła napięcia,

$r_{w}$ - opór wewnętrzy źródła napięcia,

$I$ - natężenie prądu płynącego w obwodzie.

Z tego wynika, że zmiana natężenia $I$ spowoduje zmianę napięcia na zaciskach.

3. Zdanie jest FAŁSZYWE, ponieważ żeby naładować akumulator prąd powinien płynąć w przeciwnym kierunku niż w czasie zasilania oraz napięcie zasilacza musi być większe niż SEM akumulatora.