Uzasadnienie: 

Zadaniem naszym jest określenie, w którym z podanych obszarów wokół dwóch ładunków punktowych, leży punkt, w którym natężenie pola elektrostatycznego jest równe zero.

Zauważmy, że natężenie pola elektrostatycznego jest wielkością wektorową. Wektor natężenia pola pochodzącego od ładunku ujemnego jest zwrócony w stronę tego ładunku, a wektor natężenia pola pochodzącego od ładunku dodatniego jest zwrócony od tego ładunku.

Z treści zadania odczytujemy, że pierwszy ładunek punktowy jest dodatni:

$q_{+}=q$

Natomiast drugi jest ujemny;

$q_{-}=-2q$

Każdy z tych ładunków wytwarza pole elektrostatyczne, które jest opisywane przez natężenie pola elektrostatycznego $\vec{E}$. Przyjmujemy więc:

• ${\vec{E}}_{-}$ - natężenie pola elektrostatycznego pochodzący od ładunku $q_{-}$ w pewnym punkcie rozważanego obszaru,
• ${\vec{E}}_{+}$ - natężenie pola elektrostatycznego pochodzący od ładunku ${\vec{q}}_{+}$ w pewnym punkcie rozważanego obszaru.

Wówczas interesuje nas taki punt, w którym złożenie tych dwóch wektorów da nam zero:

${\vec{E}}_{+}+{\vec{E}}_{-}=0$

Narysujmy (w przybliżeniu), jak wyglądają linie pola elektrostatycznego wytwarzane przez każdy z tych punktów. Pamiętamy, że im większe natężenie pola (np. wynikające z większego ładunku), tym większe jest zagęszczenie linii pola.

Zwróćmy uwagę, że wektor natężenia pola elektrostatycznego w każdym punkcie jest styczny do linii pola w danym punkcie. Możemy więc wypisać zwroty wektorów natężeń pól elektrostatycznych dla każdego z ładunków w wypisanych na rysunku obszarach:

Interesują nas obszary, gdzie wektory natężeń są przeciwnie zwrócone. Z rysunku odczytujemy, że są to obszary: $\text{I}$, $\text{II}$ oraz $\text{IV}$. Teraz przejdźmy do wartości wektora natężenia pola elektrostatycznego.

Wartość natężenia centralnego pola elektrostatycznego w danym punkcie pola wyznaczamy, korzystając ze wzoru:

$E=\frac{kQ}{r^2}$

gdzie:

$E$ - wartość natężenia centralnego pola elektrycznego,

$k$ - współczynnik proporcjonalności (stała elektryczna),

$Q$ - wartość ładunku będącego źródłem pola,

$r$ - odległość punktu, w którym badamy natężenie od ładunku źródłowego.

Zatem wartość natężenia pola elektrostatycznego jest wprost proporcjonalna do wartości ładunku będącego źródłem tego pola ($E\sim Q$) i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości od tego ładunku ($E\sim \frac{1}{r^2}$).

Wartość bezwzględna ładunku ujemnego jest dwukrotnie większa od wartości ładunku dodatniego:

$\left|q_{+}\right|<\left|q_{-}\right|$

$\left|q\right|<\left|-2q\right|$

$q<2q$

Zatem szukamy punktu, który jest położony bliżej ładunku dodatniego niż ujemnego. Z początkowych czterech obszarów zostają nam do rozważenia tylko dwa obszary: $\text{I}$ i $\text{II}$.

Porównanie obszarów $\text{I}$ i $\text{II}$

Korzystając z ogólnego wzoru na wartość natężenia pola elektrostatycznego, zapiszemy wzory na wartości natężeń pól:

▶ Wartość natężenia pola elektrostatycznego wytwarzanego przez ładunek dodatni:

$E_{\text{+}}=\frac{k{q}_{+}}{r_{+}^2}$

$E_{+}=\frac{kq}{r_{+}^2}$

▶ Wartość natężenia pola elektrostatycznego wytwarzanego przez ładunek ujemny:

$E_{\text{-}}=\frac{k{q}_{-}}{r_{-}^2}$

$E_{\text{-}}=\frac{k2q}{r_{-}^2}$

$E_{-}=2\frac{kq}{r_{-}^2}$

Interesuje nas sytuacja, w której wartości wektorów natężeń pola pochodzące od każdego ładunku były sobie równe:

$E_{\text{+}}=E_{\text{-}}$

Wówczas:

$\frac{kq}{r_{+}^2}=2\frac{kq}{r_{-}^2}|:kq$

$\frac{1}{r_{+}^2}=\frac{2}{r_{-}^2}|\cdot r_{+}^2{r}_{-}^2$

$r_{-}^2=2r_{+}^2$

Zatem kwadrat odległości $r_{-}^2$ wybranego punktu od ładunku ujemnego musi być dwa razy większy od kwadratu odległości $r_{+}^2$ tego punktu od ładunku dodatniego. Idąc dalej mamy:

$r_{-}^2=2r_{+}^2|\sqrt{}$

$r_{-}=\sqrt{2}{r}_{+}$

$r_{-}\approx 1,41r_{+}$

Przyjmijmy, że odległość między ładunkami $r$ jest równa odległości między kolejnymi granicami obszarów $d$. Jeżeli więc szukany punkt musi znajdować się w obszarze $\text{I}$ lub $\text{II}$, to odległość między tym punktem a ładunkiem ujemnym zapiszemy w postaci:

$r_{-}=r+r_{+}$

$r_{-}=d+r_{+}$

Stąd:

$1,41r_{+}=d+r_{+}|-r_{+}$

$1,41r_{+}-r_{+}=d$

$0,41r_{+}=d|:0,41$

$r_{+}\approx 2,44d$

Oznacza to, że punkt, w którym natężenie pola elektrostatycznego jest równe zero, nie może leżeć w obszarze II, ale w obszarze I, ponieważ odległość tego punktu od ładunku dodatniego jest dwa razy większa od odległości między granicami obszarów.

 Odpowiedź: 

A. I.