Dane:

$Q=1\text{N}$

$A_0=12\text{cm}=0,12\text{m}$

$F_{\max }=1,01\text{N}$

Szukane:

$l=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie długości wahadła. Opisane wahadło w zadaniu traktujemy jak wahadło matematyczne. Ponieważ wahadło porusza się po łuku ciężar kulki oraz siła napięcia nitki nie równoważą się. Rozważmy sytuację, w której wahadło znajduje się w położeniu równowagi.  Wiemy, że wartość siły napięcia nici jest większa od wartości ciężaru. Zatem:

$F_{\text{wyp}}=F_{\max }-Q$

gdzie:

$F_{\text{wyp}}$ - wartość siły wypadkowej,

$F_{\max }$ - maksymalna wartość siły napięcia nici,

$Q$ - wartość ciężaru kulki.

Siła wypadkowa tych sił przyjmuje funkcję siły dośrodkowej w położeniu równowagi. Wówczas:

$F_{\text{wyp}}=F_d$

gdzie:

$F_d$ - wartość siły dośrodkowej w położeniu równowagi.

Wartość siły dośrodkowej możemy przedstawić wzorem:

$F_{\text{d}}=\frac{m{v}^2}{R}$

gdzie:

$F_{\text{d}}$ - wartość siły dośrodkowej działającej na ciało, 

$m$ - masa ciała poruszającego się po okręgu, 

$v$ - wartość prędkości liniowej ciała poruszającego się po okręgu, 

$R$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało. 

W położeniu równowagi wartość prędkości kulki jest największa. Zatem wartość siły dośrodkowej działającej na wahadło w położeniu równowagi zapiszemy:

$F_d=\frac{m{v}_{\max }^2}{l}$

gdzie:

$m$ - masa kulki,

$v_{\max }$ - wartość prędkości w położeniu równowagi,

$l$ - długość wahadła.

Wówczas:

$F_{\text{wyp}}=\frac{m{v}_{\max }^2}{l}$

Zatem:

$F_{\max }-Q=\frac{m{v}_{\max }^2}{l}$

W ruchu drgającym wartość prędkości ciała jest maksymalna, gdy znajduje się ono w położeniu równowagi. Wówczas zgodnie z zależnością wartości prędkości od czasu, w tym położeniu kosinus kąta przyjmuje największą wartość, czyli $1$, a maksymalna wartość prędkości ma wówczas postać:

$v_{\max }=A_0\omega$

gdzie: 

$A$ - amplituda,  

$\omega$ - częstość drgań.  

Częstość kołową drgań wyrażamy jako:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$

gdzie:

$\omega$ - częstość kołowa drgań,

$\pi$ - liczba π,

$T$ - okres drgań.

Zatem maksymalną wartość prędkości przedstawimy:

$v_{\max }=A_0\frac{2\pi }{T}$

Okres ruchu drgań wahadła matematycznego przedstawiamy wzorem:

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

gdzie:

$T$ - okres drgań wahadła,

$\pi$ - liczba π (pi),

$l$ - długość wahadła,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego działającego na wahadło.

Zatem maksymalną wartość prędkości przedstawimy:

$v_{\max }=A_0\frac{\cancel{2\pi }}{\cancel{2\pi }\sqrt{\frac{l}{g}}}$

$v_{\max }=A_0\sqrt{\frac{g}{l}}$

Podstawmy $v_{\max }=A_0\sqrt{\frac{g}{l}}$ do wzoru $F_{\max }-Q=\frac{m{v}_{\max }^2}{l}$:

$F_{\max }-Q=\frac{m{\left(A_0\sqrt{\frac{g}{l}}\right)}^2}{l}$

$F_{\max }-Q=\frac{m{A}_0^2\frac{g}{l}}{l}$

$F_{\max }-Q=\frac{m{A}_0^{2}g}{l^2}$

$F_{\max }-Q=\frac{mg{A}_0^2}{l^2}$

Wartość ciężaru możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$Q=mg$ 

gdzie:

$Q$ - wartość ciężaru,

$m$ - masa ciała, 

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego. 

Wówczas:

$F_{\max }-Q=\frac{Q{A}_0^2}{l^2}|\cdot l^2$

$l^2\left(F_{\max }-Q\right)=Q{A}_0^2|:\left(F_{\max }-Q\right)$

$l^2=\frac{Q{A}_0^2}{F_{\max }-Q}|\sqrt{}$

$l=\sqrt{\frac{Q{A}_0^2}{F_{\max }-Q}}$

Podstawmy dane liczbowe:

$l=\sqrt{\frac{1\cancel{\text{N}}\cdot {\left(0,12\text{m}\right)}^2}{1,01\cancel{\text{N}}-1\cancel{\text{N}}}}=$

$=\sqrt{\frac{(0,12{)}^2{\text{m}}^2}{0,01}}=$

$=\frac{0,12\text{m}}{0,1}=1,2\text{m}$

Odpowiedź: Długość wahadła wynosi $1,2\text{m}$.