Dane:

$m=6\text{kg}$

$R=12\text{cm}=0,12\text{m}$

$F_1=2\text{N}$

$F_2=3\text{N}$

Szukane:

$\epsilon =?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie przyspieszenia kątowego gdy wartość siły, z którą ciągnięto walec, zwiększono z $F_1$ do $F_2$. W początkowej sytuacji walec obracał się ze stałą częstotliwością, zatem zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego, wszystkie momenty sił działające na walec muszą się równoważyć. Wartość momentu siły obracającej się bryły sztywnej dla przypadku, gdy siła jest prostopadła do ramienia odległości od osi obrotu, możemy przedstawić wzorem:

$M=rF$

gdzie:

$M$ - wartość momentu siły bryły sztywnej,

$F$ - wartość siły działającej na bryłę sztywną,

$r$ - odległość od osi obrotu bryły (długość ramienia siły).

Początkowo na walec działały dwie siły, siła z jaką był ciągnięty walec oraz siła tarcia kinetycznego. Zatem:

$M_1=R{F}_1$

gdzie:

$M_1$ - wartość momentu siły $\overrightarrow{F_1}$,

$R$ - promień walca,

$F_1$ - wartość siły, z jaką walec był ciągnięty.

Momenty sił muszą się równoważyć. Wówczas:

$M_1=M_T$

gdzie:

$M_T$ - wartość momentu siły tarcia kinetycznego.

Zatem:

$M_T=R{F}_1$

W momencie, gdy zwiększono wartość siły do $F_2$, walec zaczął poruszać się z pewnym przyspieszeniem kątowym. Zatem zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego, momenty sił działające na walec nie równoważą się. W tej sytuacji nadal działają na walec tylko dwie siły, siła tarcia kinetycznego oraz siła $\overrightarrow{F_2}$. Siła tarcia kinetycznego nie zmieniła się względem poprzedniej sytuacji, moment tej siły też się nie zmienił. Wartość momentu siły $\overrightarrow{F_2}$ możemy zapisać:

$M_2=R{F}_2$

gdzie:

$M_2$ - wartość momenty siły $\overrightarrow{F_2}$

$F_2$ - wartość siły, z którą jest ciągnięty walec.

Zapiszmy równanie zgodne z II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego:

$M_2-M_T=I\epsilon$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności walca,

$\epsilon$ - wartość przyspieszenia kątowego, z jakim obraca się walec.

Wówczas:

$R{F}_2-R{F}_1=I\epsilon$

Moment bezwładności jednorodnego walca obracającego się względem swojej osi symetrii ma postać:

$I=\frac{1}{2}m{R}^2$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności walca,

$m$ - masa walca, 

$R$ - promień walca. 

Zatem:

$R{F}_2-R{F}_1=\frac{1}{2}m{R}^2\epsilon |:\frac{1}{2}m{R}^2$

$\frac{R{F}_2-R{F}_1}{\frac{1}{2}m{R}^2}=\epsilon$

$\frac{\cancel{R}\left(F_2-F_1\right)}{\frac{1}{2}m{R}^{\cancel{2}}}=\epsilon$

$\epsilon =\frac{F_2-F_1}{\frac{1}{2}m{R}^2}$

Podstawmy dane liczbowe:

$\epsilon =\frac{3\text{N}-2\text{N}}{\frac{1}{2}\cdot 6\text{kg}\cdot (0,12\text{m})}=$

$=\frac{1\text{N}}{3\text{kg}\cdot 0,12\text{m}}=$

$=\frac{1\bcancel{\text{kg}}\cdot \frac{\cancel{\text{m}}}{{\text{s}}^2}}{0,36\bcancel{\text{kg}}\cdot \cancel{\text{m}}}=$

$=2,78\frac{1}{{\text{s}}^2}\approx 2,8\frac{1}{{\text{s}}^2}$

Odpowiedź: Wartość przyspieszenia kątowego wynosi $\epsilon =2,8\frac{1}{{\text{s}}^2}$.