Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest znalezienie związku między wielkościami: $d$, $a$, $v_1$, $v_2$, kiedy dochodzi do spotkania między motocyklistami.

Rozpatrzmy ruch każdego motocyklisty z osobna:

🟪 Motocyklista 1:

Pierwszy motocyklista porusza się ruchem jednostajnym z szybkością $v_1$. 

Jeżeli ciało porusza się z prędkością o stałej wartości to drogę przebytą przez to ciało w określonej jednostce czasu możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$s=vt$

gdzie:

$s$ - droga, 

$v$ - szybkość, 

$t$ - czas ruchu. 

Zatem drogę, którą przebył pierwszy motocyklista, obliczamy jako:

$s_1=v_{1}t$

gdzie:

$s_1$ - droga przebyta przez pierwszego motocyklistę.

$v_1$ - szybkość pierwszego motocyklisty.

$t$ - czas ruchu pierwszego motocyklisty do momentu zawrócenia drugiego motocyklisty drugiego.

 

Gdy drugi motocyklista zawróci, to pierwszy dalej porusza się ruchem jednostajnym. Drogę po zawróceniu obliczamy jako:

$s_1^{\prime }=v_1{t}^{\prime }$

gdzie:

$s_1^{\prime }$ - droga przebyta przez pierwszego motocyklistę, gdy drugi zawrócił,

$t^{\prime }$ - czas ruchu po zawróceniu drugiego motocyklisty.

 

🟪 Motocyklista 2:

Drugi motocyklista porusza się dwoma fazami ruchu. W pierwszej fazie jest to ruch jednostajnie opóźniony. Potem motocyklista zawraca i porusza się ruchem przyspieszonym. Rozpatrzmy każdą fazę ruchu osobno.

✔️ Ruch jednostajnie opóźniony:

Motocyklista porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym ze stałym opóźnieniem. 

Drogę jaką przebędzie ciało w ruchu jednostajnie opóźnionym przedstawiamy za pomocą wzoru:

$s=v_{0}t-\frac{1}{2}a{t}^2$

gdzie:

$s$ - droga pokonana przez ciało,

$v_0$ - wartość prędkości początkowej ciała, 

$a$ - wartość przyspieszenia z jakim porusza się ciało (opóźnienie), 

$t$ - czas ruchu ciała. 

 

W przypadku naszego motocyklisty droga przebyta przez motocyklistę przed zawróceniem obliczamy jako:

$s_2=v_{2}t-\frac{a{t}^2}{2}$ 

gdzie:

$s_2$ - droga przebyta przez drugiego motocyklistę zanim zawrócił,

$v_2$ - szybkość drugiego motocyklisty.

 

Wzór na końcową szybkość w ruchu opóźnionym ma postać:

$v_k=v_0-at$

gdzie:

$v_k$ - końcowa szybkość ciała,

$v_0$ - początkowa szybkość ciała.

Szybkość kierowcy, gdy zawracał była równa zero. Skorzystajmy ze wzoru na końcową szybkość w ruchu opóźnionych i otrzymujemy:

$0=v_2-at$

Przekształćmy powyższe równanie względem czasu i otrzymujemy:

$0=v_2-at\mid +at$

$at=v_2\mid :a$

$t=\frac{v_2}{a}$

 

Wstawmy to do naszego wzoru na drogę i otrzymujemy:

$s_2=v_2\cdot \frac{v_2}{a}-\frac{a\cdot {\left(\frac{v_2}{a}\right)}^2}{2}$

$s_2=\frac{v_2^2}{a}-\frac{\frac{v_2^2}{a}}{2}$

$s_2=\frac{v_2^2}{a}-\frac{v_2^2}{2a}$

$s_2=\frac{v_2^2}{2a}$

 

✔️ Ruch jednostajnie przyspieszony:

Po zawróceniu motocyklista porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym.  Wyznaczmy wzór na drogę motocyklisty w ruchu jednostajnie przyspieszonym. 

Drogę jaką przebędzie ciało w ruchu jednostajnie przyspieszonym przedstawiamy za pomocą wzoru:

$s=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

gdzie:

$s$ - droga przebyta przez ciało,

$v_0$ - wartość prędkości początkowej ciała, 

$a$ - wartość przyspieszenia, z jakim porusza się ciało, 

$t$ - czas ruchu ciała. 

 

Początkowa szybkość motocyklisty jest równa tej tuż przy zawracaniu, czyli zerowa:

$s_2^{\prime }=\frac{a{t}^{\prime 2}}{2}$

gdzie:

$s_2^{\prime }$ - droga przebyta przez drugiego motocyklistę, po zawróceniu.

 

Przeanalizujmy teraz sytuację motocyklistów tuż po zawróceniu. Tuż po nim odległość między motocyklistami wynosiła:

$s_1^{\prime }-s_2^{\prime }=d+s_1+s_2$

gdzie:

$d$ - odległość między motocyklistami

Wstawiamy wzory na drogi i otrzymujemy::

$v_1{t}^{\prime }-\frac{a{t}^{\prime 2}}{2}=d+v_{1}t+\frac{v_2^2}{2a}$

Zauważmy, że przy wyprowadzeniu wzoru na $t$ już dużo wcześniej obliczyliśmy drogę $s_1$. Ale motocyklista pierwszy poruszał się w tym samym czasie, co drugi, więc jest to ten sam wzór. Wstawmy go i otrzymujemy:

$v_1{t}^{\prime }-\frac{a{t}^{\prime 2}}{2}=d+v_1\cdot \frac{v_2}{a}+\frac{v_2^2}{2a}$

Przerzućmy wszystkie wyrażenia na jedną stronę i otrzymujemy:

$v_1{t}^{\prime }-\frac{a{t}^{\prime 2}}{2}-d-v_1\cdot \frac{v_2}{a}-\frac{v_2^2}{2a}=0$

$-\frac{a{t}^{\prime 2}}{2}+v_1{t}^{\prime }-d-v_1\cdot \frac{v_2}{a}-\frac{v_2^2}{2a}=0\mid \cdot \left(-1\right)$

$\frac{a{t}^{\prime 2}}{2}-v_1{t}^{\prime }+d+v_1\cdot \frac{v_2}{a}+\frac{v_2^2}{2a}=0$

$\frac{a{t}^{\prime 2}}{2}-v_1{t}^{\prime }+\left(d+v_1\cdot \frac{v_2}{a}+\frac{v_2^2}{2a}\right)=0$

Zauważmy, że powstało nam równanie kwadratowe o zmiennej $t^{\prime }$. Aby miało one rzeczywiste rozwiązanie, to delta musi być większa bądź równa zero.

Delta ma postać:

$\Delta ={\left(-v_1\right)}^2-4\cdot \frac{a}{2}\cdot \left(d+v_1\cdot \frac{v_2}{a}+\frac{v_2^2}{2a}\right)$

$\Delta =v_1^2-2a\cdot \left(d+v_1\cdot \frac{v_2}{a}+\frac{v_2^2}{2a}\right)$

$\Delta =v_1^2-2ad-2v_1{v}_2-v_2^2$

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:

$\Delta ={\left(v_1-v_2\right)}^2-2ad-2v_2^2$

Aby czas $t^{\prime }$ miał rozwiązania rzeczywiste delta musi być większa bądź równa zero:

$\Delta \ge 0$

Otrzymujemy nasz warunek - zależność między wielkościami: $d$, $v_1$, $v_2$ i $a$:

${\left(v_1-v_2\right)}^2-2ad-2v_2^2\ge 0$

 

Odpowiedź: 

Wielkości: $d$, $a$, $v_1$, $v_2$ muszą spełniać warunek:

${\left(v_1-v_2\right)}^2-2ad-2v_2^2\ge 0$