Dane:

$y=12\sin \left(4\pi t-\frac{\pi }{20}x\right)$  

 

$\mathbf{a})$  

 Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest obliczenie wymienionych wielkości.

Ogólna postać wzoru na funkcję falową jest dana jako:

$y=A\sin \left[\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)\right]$

gdzie:

$y$ - wychylenie punktu z położenia równowagi,

$A$ - amplituda fali,

$\omega$ - częstość kołowa drgań,

$x$ - położenie względem źródła fali,

$v$ - wartość prędkości fali.

W zadaniu funkcja ta ma postać:

$y=12\sin \left(4\pi t-\frac{\pi }{20}x\right)$  

$y=12\sin \left(4\pi \left(t-\frac{x}{80}\right)\right)$  

Porównujemy powyższy wzór ze wzorem ogólnym:

$y=A\sin \left[\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)\right]$

Liczba przed sinusem to amplituda - odczytujemy jej wartość. Zadanie podaje, że długości są podane w $\text{cm}$, zatem:

$A=12\text{cm}=0,12\text{m}$ 

Następnie porównujemy odpowiednie elementy argumentu funkcji sinus:

$\omega =4\pi$  

$v=80\frac{\text{cm}}{\text{s}}=0,8\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

▶ Okres drgań $T$ obliczymy z zależności:

$T=\frac{2\pi }{\omega }$  

Zadanie podaje, że czasy wyrażone są w sekundach, zatem po podstawieniu otrzymujemy:

$T=\frac{2\pi }{4\pi }=0,5\text{s}$  

▶ Długość fali

Znamy częstość drgań, dlatego możemy zapisać wzór na częstotliwość (odwrotność okresu $T$): 

$f=\frac{\omega }{2\pi }$  

Długość fali obliczymy z zależności:

$f=\frac{v}{\lambda }$  

gdzie:

$f$ - częstotliwość fali,

$v$ - szybkość fali,

$\lambda$ - długość fali.

Przekształcamy powyższy wzór celem obliczenia długości fali:

$f=\frac{v}{\lambda }|\cdot \lambda$

$f\cdot \lambda =v\mid :f$  

$\lambda =\frac{v}{f}$  

Podstawiamy za częstotliwość $f$:

$\lambda =\frac{v}{\frac{\omega }{2\pi }}$  

Licznik mnożymy przez odwrotność mianownika:

$\lambda =\frac{2\pi v}{\omega }$  

Podstawiamy i obliczamy:

$\lambda =\frac{2\pi \cdot 0,8\frac{\text{m}}{\text{s}}}{4\pi \frac{1}{\text{s}}}=0,4\text{m}=40\text{cm}$  

▶ Szybkość cząstek sznura w chwili przechodzenia przez położenie równowagi. 

Wartość prędkości ciała po określonym czasie w ruchu drgającym przedstawiamy zależnością:

$v=A\omega \cos \left(\omega t+\phi \right)$

gdzie: 

$v$ - wartość prędkości ciała po zadanym czasie, 

$t$ - czas, 

$A$ - amplituda,  

$\omega$ - częstość drgań,  

$\phi$ - faza ruchu.

W ruchu drgającym wartość prędkości ciała jest maksymalna, gdy znajduje się ono w położeniu równowagi. Wówczas zgodnie z zależnością wartości prędkości od czasu, w tym położeniu kosinus kąta przyjmuje największą wartość, czyli $1$, a maksymalna wartość prędkości ma wówczas postać:

$v_{\max }=A\omega$

gdzie: 

$v_{\max }$ - maksymalna wartość prędkości (wartość prędkości w położeniu równowagi),

$A$ - amplituda,  

$\omega$ - częstość drgań.  

Podstawiamy i obliczamy:

$v=0,12\text{m}\cdot 4\pi \frac{1}{\text{s}}=0,12\text{m}\cdot 4\cdot 3,14\frac{1}{\text{s}}=$  

     $=1,5072\frac{\text{m}}{\text{s}}=150,72\frac{\text{cm}}{\text{s}}\approx 151\frac{\text{cm}}{\text{s}}$

 

 Odpowiedź: 

▶ Amplituda fali wynosi: $A=12\text{cm}$ 

▶ Okres drgań cząstek sznura:$T=0,5\text{s}$.

▶ Długość fali: $\lambda =40\text{cm}$

▶ Szybkość rozchodzenia się fali wynosi: $v=80\frac{\text{cm}}{\text{s}}$  .

▶ Szybkość cząsteczek sznura w chwili przechodzenia przez położenie równowagi: $v\approx 151\frac{\text{cm}}{\text{s}}$.

 

$\mathbf{b})$  

 Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest naszkicowanie wykresu funkcji dla $t=0$.

Dana jest funkcja.

$y=12\sin \left(4\pi t-\frac{\pi }{20}x\right)$  

Zadanie podaje, że:

$t=0$  

Podstawiamy do funkcji:

$y=12\sin \left(4\pi \cdot 0-\frac{\pi }{20}x\right)$  

$y=12\sin \left(-\frac{\pi }{20}x\right)$  

$y=-12\sin \left(\frac{\pi }{20}x\right)$  

Znając amplitudę oraz okres szkicujemy wykres funkcji o przebiegu sinusoidalnym uwzględniając minus przed funkcją. Szkic został zamieszczony poniżej.

 Odpowiedź: