Dane:

$\phi ={50}^{\circ }$  

$\alpha ={60}^{\circ }$  

$n_{\text{cz}}=1,87$  

$n_{\text{f}}=1,96$  

Szukane:

$\epsilon =?$  

Rozwiązanie: 

Naszym zadaniem jest obliczenie z dokładnością do $0,5°$ kąt, który tworzą ze sobą po wyjściu z pryzmatu promienie światła czerwonego i fioletowego. 

W tym zadaniu obliczenia będziemy wykonywać przy pomocy funkcji trygonometrycznych, dlatego możemy obliczać kolejne wielkości zamiast wyznaczyć jeden wzór opisujący końcową zależność. 

Zacznijmy od wykonania rysunku obrazującego nam sytuację przedstawioną w zadaniu:

Zacznijmy od wyznaczenia kąta załamania światła czerwonego po wyjściu z pryzmatu ${\delta }_{\text{cz}}$ .

Korzystając z prawa Snella obliczmy kąt załamania światła czerwonego w pryzmacie:

$\frac{\sin \alpha }{\sin {\beta }_{\text{cz}}}=n_{\text{cz}}$  

Po przekształceniu:

$\sin {\beta }_{\text{cz}}=\frac{\sin \alpha }{n_{\text{cz}}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\sin {\beta }_{\text{cz}}=\frac{\sin {60}^{\circ }}{1,87}=\frac{0,866}{1,87}\approx 0,4631$  

Korzystając z bardzo dokładnych tablic trygonometrycznych lub kalkulatora naukowego otrzymamy, że:

${\beta }_{\text{cz}}\approx {27,6}^{\circ }$  

Z rysunku możemy zauważyć, że kąt padania na drugą ścianę pryzmatu będzie wynosił:

$\left({90}^{\circ }-{\beta }_{\text{cz}}\right)+\phi +\left({90}^{\circ }-{\gamma }_{\text{cz}}\right)={180}^{\circ }$  

${90}^{\circ }-{\beta }_{\text{cz}}+\phi +{90}^{\circ }-{\gamma }_{\text{cz}}={180}^{\circ }\mid +{\gamma }_{\text{cz}}-{180}^{\circ }$  

$\phi -{\beta }_{\text{cz}}={\gamma }_{\text{cz}}$  

${\gamma }_{\text{cz}}=\phi -{\beta }_{\text{cz}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

${\gamma }_{\text{cz}}={50}^{\circ }-{27,6}^{\circ }={22,4}^{\circ }$  

Korzystając z prawa Snella wyznaczamy kąt załamania światła po wyjściu z pryzmatu:

$\frac{\sin {\gamma }_{\text{cz}}}{\sin {\delta }_{\text{cz}}}=\frac{1}{n_{\text{cz}}}$  

$\sin {\delta }_{\text{cz}}=n_{\text{cz}}\sin {\gamma }_{\text{cz}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\sin {\delta }_{\text{cz}}=1,87\cdot \sin {22,4}^{\circ }=1,87\cdot 0,3811=0,712657$  

${\delta }_{\text{cz}}\approx {45,5}^{\circ }$  

Wyznaczmy kąta załamania światła fioletowego po wyjściu z pryzmatu ${\delta }_{\text{f}}$ .

Korzystając z prawa Snella obliczmy kąt załamania światła fioletowego w pryzmacie:

$\frac{\sin \alpha }{\sin {\beta }_{\text{f}}}=n_{\text{f}}$  

$\sin {\beta }_{\text{f}}=\frac{\sin \alpha }{n_{\text{f}}}$  

$\sin {\beta }_{\text{f}}=\frac{\sin {60}^{\circ }}{1,96}=\frac{0,866}{1,96}\approx 0,4418$  

${\beta }_{\text{f}}\approx {26,2}^{\circ }$  

Wówczas kąt padania na drugą ścianę pryzmatu będzie wynosił:

$\left({90}^{\circ }-{\beta }_{\text{f}}\right)+\phi +\left({90}^{\circ }-{\gamma }_{\text{f}}\right)={180}^{\circ }$  

${\gamma }_{\text{f}}=\phi -{\beta }_{\text{f}}$  

${\gamma }_{\text{f}}={50}^{\circ }-{26,2}^{\circ }={23,8}^{\circ }$  

Korzystając z prawa Snella wyznaczamy kąt załamania światła po wyjściu z pryzmatu:

$\frac{\sin {\gamma }_{\text{f}}}{\sin {\delta }_{\text{f}}}=\frac{1}{n_{\text{f}}}$  

$\sin {\delta }_{\text{f}}=n_{\text{f}}\sin {\gamma }_{\text{f}}$  

$\sin {\delta }_{\text{f}}=1,96\cdot \sin {23,8}^{\circ }=1,96\cdot 0,4035=0,79086$  

${\delta }_{\text{f}}\approx {52,3}^{\circ }$  

Wyznaczamy kąt, który tworzą z sobą po wyjściu z pryzmatu promienie światła czerwonego i fioletowego:

Z rysunku zapisujemy sumę kątów wewnętrznych trójkąta:

$\epsilon +\left({\delta }_{\text{cz}}+{90}^{\circ }\right)+\left({90}^{\circ }-{\delta }_{\text{f}}\right)={180}^{\circ }$  

$\epsilon +{\delta }_{\text{cz}}+{90}^{\circ }+{90}^{\circ }-{\delta }_{\text{f}}={180}^{\circ }\mid +{\delta }_{\text{f}}-{\delta }_{\text{cz}}-{180}^{\circ }$  

$\epsilon ={\delta }_{\text{f}}-{\delta }_{\text{cz}}$  

Podstawiamy wyznaczone wcześniej wielkości liczbowe:

$\epsilon ={52,3}^{\circ }-{45,5}^{\circ }={6,8}^{\circ }\approx {7,0}^{\circ }$  

Odpowiedź: Kąt, który tworzą ze sobą po wyjściu z pryzmatu promienie światła czerwonego i fioletowego wynosi $7,0{}^{\circ }$.