Dane:

$h_p=0,5\text{cm}$

$h_o=1,5\text{cm}$

 

$\mathbf{a})$

 Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest zaznaczenie na rysunku obrazu $P^{\prime }$, zachowując proporcje wielkości i położenia obrazu.

Zadanie podaje, że otrzymany obraz jest pozorny, zatem soczewka pełni rolę lupy. 

W przypadku lupy, która daje obraz pozorny, prosty i powiększony:

• obraz powstaje po tej samej stronie soczewki co przedmiot (czyli przed soczewką),

• obraz jest pozorny (czyli nie powstaje w rzeczywistości – nie da się go zobaczyć na ekranie),

• obraz jest w odległości większej niż ogniskowa, ale mniejszej niż punkt dobrego widzenia,

• przedmiot musi być ustawiony pomiędzy ogniskiem a soczewką, bo tylko wtedy obraz będzie pozorny i powiększony.

W soczewce powiększenie obrazu można wyrazić poprzez zależność:

$p=\frac{h_o^{}}{h_p}$

gdzie:

$p$ - powiększenie obrazu, 

$h_p$ - wysokość przedmiotu,

$h_o^{}$ - wysokość obrazu.

Podstawiamy i obliczamy:

$p=\frac{1,5\cancel{\text{cm}}}{0,5\cancel{\text{cm}}}=3$

Zatem obraz $P^{\prime }$ narysujemy na lewo od przedmiotu, a jego wysokość będzie potrojeniem wysokości przedmiotu czyli $3\cdot 3\text{kratki}=9\text{kratek}$. Aby wyznaczyć dokładnie jego położenie narysujemy jedyny, jak na razie znany bieg promienia przez soczewkę - promień przechodzący przez środek soczewki, a następnie go przedłużymy i sprawdzimy, w którym miejscu obraz będzie miał wysokość $9\text{kratek}$ - w tym miejscu go narysujemy. Gotowy rysunek został zamieszczony poniżej. 

 Odpowiedź: 

 

$\mathbf{b})$

 Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest narysowanie biegu wybranych charakterystycznych promieni wychodzących z końca strzałki oznaczającej przedmiot, ilustrujących powstawanie opisanego obrazu oraz wyznaczenie na podstawie tej konstrukcji ogniska soczewki. 

Jeden z promieni charakterystycznych (promień niebieski) narysowaliśmy już aby precyzyjnie wyznaczyć położenie obrazu. Następnie rysujemy drugi promień - czerwony, biegnący z końca przedmiotu równolegle do osi optycznej. Rysujemy najpierw jego przedłużenie (czerwona linia przerywana) - od soczewki do końca obrazu, a następnie dorysowujemy jako przedłużenie promień (czerwona linia po prawej stronie soczewki). Miejsce przecięcia promienia z osia optyczną określa położenie ogniska. W tej samej odległości ($7\text{kratek}$) od soczewki zaznaczamy również ognisko po lewej stronie soczewki. 

Opisane powyżej kroki zostały przedstawione na rysunku poniżej.

 Odpowiedź: 

 

$\mathbf{c})$

Dane w tym podpunkcie:

$y=-25\text{cm}$

Szukane:

$f=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie ogniskowej lupy.

Za pomocą lupy otrzymano obraz pozorny zatem $y<0$ - stąd minus w danych przy wartości $y$. 

Równanie soczewki opisuje zależności pomiędzy odległościami przedmiotu i obrazu od soczewki, a długością ogniskowej. Ma ono postać:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

gdzie:

$f$ - ogniskowa soczewki,

$x$ - odległość przedmiotu od soczewki,

$y$ - odległość obrazu od soczewki.

Zauważamy, że do wyznaczenia ogniskowej brakuje nam odległości przedmiotu od soczewki. Skorzystamy ze wzorów na powiększenie.

W soczewce powiększenie obrazu można wyrazić poprzez zależność:

$p=\frac{\left|y\right|}{x}$

gdzie:

$p$ - powiększenie obrazu, 

$x$ - odległość przedmiotu od soczewki,

$\left|y\right|$ - bezwzględna odległość obrazu od soczewki.

W soczewce powiększenie obrazu można wyrazić również poprzez zależność:

$p=\frac{h_o^{}}{h_p}$

gdzie:

$p$ - powiększenie obrazu, 

$h_p$ - wysokość przedmiotu,

$h_o^{}$ - wysokość obrazu.

Porównując prawe strony powyższych wzorów na powiększenie uzyskamy zależność, która pozwoli wyznaczyć nam wartość $x$.

$\frac{\left|y\right|}{x}=\frac{h_o^{}}{h_p}$

Mnożymy na krzyż:

$x\cdot h_o=\left|y\right|\cdot h_p|:h_o$

$x=\frac{\left|y\right|\cdot h_p}{h_o}$

Podstawiamy i obliczamy:

$x=\frac{25\text{cm}\cdot 0,5\cancel{\text{cm}}}{1,5\cancel{\text{cm}}}=8,3333333\text{cm}\approx 8,33\text{cm}$

Mamy już wszystkie potrzebne wielkości by obliczyć ogniskową, wracamy zatem do równia soczewki - podstawiamy i obliczamy:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{8,33\text{cm}}+\frac{1}{-25\text{cm}}=\frac{1}{8,33\text{cm}}-\frac{1}{25\text{cm}}=$

     $=0,080048\frac{1}{\mathrm{cm}}\approx 0,08\frac{1}{\text{cm}}$

Ostatecznie otrzymujemy:

$\frac{1}{f}\approx 0,08\frac{1}{\text{cm}}$

Odwracamy ułamki:

$f=\frac{1}{0,08\frac{1}{\text{cm}}}=12,5\text{cm}$

Odpowiedź: Ogniskowa lupy wynosi $12,5\text{cm}$.