Dane: 

${\text{R}}_{\text{Z}}=6,37\cdot {10}^6\text{m}$  

${\text{M}}_{\text{Z}}=5,97\cdot {10}^{24}\text{kg}$  

$\text{G}=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}$  

Szukane: 

$\text{v},\text{T}=\text{?}$  

Rozwiązanie: 

Do obliczenia wartości prędkości satelity korzystamy ze wzoru:

$\text{v}=\sqrt{\text{G}\cdot \frac{{\text{M}}_{\text{Z}}}{\text{R}}}$  

gdzie $\text{G}$  jest stałą grawitacyjną, ${\text{M}}_{\text{Z}}$  jest masą Ziemi, $\text{R}$  jest promieniem orbity, po jakim się porusza.

Promień orbity jest równy dwukrotnej długości promienia Ziemi ${\text{R}}_{\text{Z}}$  :

$\text{R}=2{\text{R}}_{\text{Z}}$  

Obliczmy więc prędkość satelity:

$\text{v}=\sqrt{\text{G}\cdot \frac{{\text{M}}_{\text{Z}}}{2{\text{R}}_{\text{Z}}}}$  

Wstawiamy dane liczbowe:

$\text{v}=\sqrt{\frac{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot 5,97\cdot {10}^{24}\text{kg}}{2\cdot 6,37\cdot {10}^6\text{m}}}=\sqrt{\frac{39,8199\cdot {10}^{13}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{\text{kg}}}{12,74\cdot {10}^6\text{m}}}=$   

$=\sqrt{\frac{39,8199\cdot {10}^{13}\frac{\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\text{m}}^2}{\text{kg}}}{12,74\cdot {10}^6\text{m}}}\approx \sqrt{3,12558\cdot {10}^7\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}=$  

$=\sqrt{31,2558\cdot {10}^6\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}\approx 5,6\cdot {10}^3\frac{\text{m}}{\text{s}}=5,6\frac{\text{km}}{\text{s}}$  

Wartość pierwszej prędkości kosmicznej dla Ziemi możemy obliczyć z zależności:

${\text{v}}_{\text{I}}=\sqrt{\text{G}\cdot \frac{{\text{M}}_{\text{Z}}}{{\text{R}}_{\text{Z}}}}$  

Porównajmy więc te dwie prędkości:

$\frac{{\text{v}}_{\text{I}}}{\text{v}}=\frac{\sqrt{\text{G}\cdot \frac{{\text{M}}_{\text{Z}}}{{\text{R}}_{\text{Z}}}}}{\sqrt{\text{G}\cdot \frac{{\text{M}}_{\text{Z}}}{2\cdot {\text{R}}_{\text{Z}}}}}$  

${\text{v}}_{\text{I}}=\sqrt{2}\cdot \text{v}$  

Okres obiegu satelity obliczamy ze wzoru:

$\text{T}=\frac{2\pi }{\omega }$    

gdzie $\omega$  jest jej szybkością kątową.

Ponieważ obliczamy okres obiegu satelity na wysokości równej promieniowi Ziemi to otrzymujemy, że:

$\omega =\frac{\text{v}}{2{\text{R}}_{\text{Z}}}$  

Z tego wynika, że:

$\text{T}=\frac{2\pi }{\frac{\text{v}}{2{\text{R}}_{\text{Z}}}}$    

$\text{T}=\frac{2\pi }{\frac{\sqrt{\text{G}\cdot \frac{{\text{M}}_{\text{Z}}}{2{\text{R}}_{\text{Z}}}}}{2{\text{R}}_{\text{Z}}}}$    

$\text{T}=2\pi \cdot 2{\text{R}}_{\text{Z}}\cdot \sqrt{\frac{2{\text{R}}_{\text{Z}}}{\text{G}\cdot {\text{M}}_{\text{Z}}}}$    

$\text{T}=2\pi \cdot \sqrt{\frac{4{\text{R}}_{\text{Z}}^2\cdot 2{\text{R}}_{\text{Z}}}{\text{G}{\text{M}}_{\text{Z}}}}$    

$\text{T}=2\pi \cdot \sqrt{\frac{8{\text{R}}_{\text{Z}}^3}{\text{G}{\text{M}}_Z}}$    

Wstawiamy dane liczbowe i obliczamy:

$\text{T}=2\cdot 3,14\cdot \sqrt{\frac{8\cdot {\left(6,37\cdot {10}^6\text{m}\right)}^3}{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot 5,97\cdot {10}^{24}\text{kg}}}=6,28\cdot \sqrt{\frac{8\cdot 258,474853\cdot {10}^{18}{\text{m}}^3}{39,8199\cdot {10}^{13}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{\text{kg}}}}=$  

$=6,28\cdot \sqrt{\frac{2067,798824\cdot {10}^{18}{\text{m}}^3}{398,199\cdot {10}^{12}\frac{\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\text{m}}^2}{\text{kg}}}}\approx 6,28\cdot \sqrt{5,193\cdot {10}^6{\text{s}}^2}\approx$  

$\approx 6,28\cdot 2,28\cdot {10}^3\text{s}=14,3184\cdot {10}^3\text{s}=14318,4\text{s}\approx$  

$\approx 14300\text{s}\approx 4\text{h}$  

Odpowiedź: Prędkość satelity wynosiła w przybliżeniu 5,6 km/s, a okres jej obiegu wynosił około 4 godziny.