Źródłem pola elektrycznego jest metalowa kulka o masie...- Zadanie 3. Naelektryzowana kulka: Zrozumieć fizykę 3. Zakres rozszerzony. Wydanie 2024

Rozwiązanie

UWAGA! W podpunkcie 3.4. podręcznik podaje niewłaściwą odpowiedź do zadania.

Dane:

$M = 10 g = 0, 01 kg$

$R = 8 mm = 8 \cdot 1 0^{- 3} m$

$Q = 2 \cdot 1 0^{- 14} C$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ stała elektryczna w próżni: $k = 9 \cdot 1 0^{9} N \cdot \frac{m ^{2}}{C ^{2}}$ .

$3.1.$

Naszym zadaniem jest sporządzenie wykresu zależności potencjału wytworzonego przez naelektryzowaną kulkę od odległości od jej środka.

POTENCJAŁ POLA ELEKTRYCZNEGO

Potencjał pola elektrycznego w danym punkcie pola wokół ładunku punktowego możemy przedstawić wzorem:

$V = \frac{k Q}{r}$

gdzie:

$V$ - potencjał pola elektrycznego,

$k$ - współczynnik proporcjonalności (stała elektryczna),

$Q$ - wartość ładunku będącego źródłem pola,

$r$ - odległość punktu, w którym badamy potencjał od ładunku źródłowego.

Mamy jednorodnie naładowaną kulę. Oznacza to, że wewnątrz kuli będziemy mieli stałą wartość potencjału pola, a na zewnątrz kulki potencjał będzie zmieniał się w zależności od odległości od kuli.

Graniczną maksymalną wartością potencjału pola będzie potencjał na powierzchni kuli. Będzie on wynosił:

$V_{R} = \frac{k Q}{R}$

gdzie:

$Q$ - wartość ładunku kulki,

$V_{R}$ - potencjał na powierzchni kuli,

$R$ - promień kuli.

Wówczas potencjał wewnątrz kuli zależności od odległości od jej środka przedstawimy jako:

$V_{r < R} = const$

$V_{r < R} = V_{0}$

$V_{r < R} = \frac{k Q}{R}$

Obliczmy potencjał na powierzchni kuli:

$V_{R} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} N \cdot \frac{m ^{2}}{C ^{2}} \cdot 2 \cdot 1 0 ^{- 14} C}{8 \cdot 1 0 ^{- 3} m} =$

$= \frac{18 \cdot 1 0 ^{- 5} N \cdot \frac{m ^{2}}{C}}{8 \cdot 1 0 ^{- 3} m} = 2, 25 \cdot 1 0^{- 2} \frac{N \cdot m}{C} =$

$= 0, 0225 \frac{N \cdot m}{C}$

W odległości od kuli większej niż jej promień możemy przedstawić zależnością:

$V_{r > R} = \frac{k Q}{r}$

Obliczmy iloczyn stałej elektrycznej oraz ładunku kuli:

$k Q = 9 \cdot 1 0^{9} N \cdot \frac{m ^{2}}{C ^{2}} \cdot 2 \cdot 1 0^{- 14} C =$

$= 18 \cdot 1 0^{- 5} N \cdot \frac{m ^{2}}{C} = 0, 00018 N \cdot \frac{m ^{2}}{C}$

Pomijając podstawowe jednostki układu SI zapiszmy zależność opisującą potencjał poza kulą:

$V_{r > R} = \frac{0 , 00018}{r}$

Wówczas otrzymujemy, że zależność potencjału pola wytworzonego przez naelektryzowaną kulkę od odległości od jej środka możemy przedstawić funkcją:

$V (r) = {0, 0225 dla r \leq R \frac{0 , 00018}{r} dla r > R$

Zauważmy że funkcja ta jest w pierwszy przedziale funkcją stałą, a w drugim przedziale jest funkcją wymierną. Wykres zależności potencjału pola od odległości będzie miał postać:

$3.2.$

Naszym zadaniem jest sporządzenie wykresu zależności natężenia pola elektrycznego wytworzonego przez kulkę od odległości od jej środka.

WARTOŚĆ NATĘŻENIA POLA ELEKTRYCZNEGO

Wartość natężenia centralnego pola elektrycznego w danym punkcie pola wyznaczamy, korzystając ze wzoru:

$E = \frac{k Q}{r ^{2}}$

gdzie:

$E$ - wartość natężenia centralnego pola elektrycznego,

$k$ - współczynnik proporcjonalności (stała elektryczna),

$Q$ - wartość ładunku będącego źródłem pola,

$r$ - odległość punktu, w którym badamy natężenie od ładunku źródłowego.

W naszym przypadku ładunkiem źródłowym jest jednorodna kula. Na powierzchni tej kuli natężenie pola będzie miało wartość:

$E_{r = R} = \frac{k Q}{R ^{2}}$

gdzie:

$E_{r = R}$ - wartość natężenia pola wytwarzanego przez kulę na jej powierzchni.

Obliczmy wartość tego natężenie:

$E_{r = R} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} N \cdot \frac{m ^{2}}{C ^{2}} \cdot 2 \cdot 1 0 ^{- 14} C}{( 8 \cdot 1 0 ^{- 3} m ) ^{2}} =$

$= \frac{18 \cdot 1 0 ^{- 5} N \cdot \frac{m ^{2}}{C}}{64 \cdot 1 0 ^{- 6} m ^{2}} = 0, 28125 \cdot 10 \frac{N}{C} =$

$= 2, 8125 \frac{N}{C} \approx 2, 8 \frac{N}{C}$

W takim wypadku otrzymujemy funkcję stałą, której postać (przy pominięciu podstawowych jednostek SI) jest następująca:

$E_{r = R} (r) = 2, 8$

W środku tej kuli nie ma ładunku, który wytwarzałby pole elektryczne. Wewnątrz przewodnika natężenie pole elektrostatycznego jest równe zero, dlatego:

$E_{r < R} (r) = 0$ dla $0 \leq r \leq R$

gdzie:

$E_{r < R}$ - wartość natężenia pola wewnątrz przewodnika.

Na końcu rozważamy wartość natężenia pola w odległości większej niż promień kuli. Otrzymujemy wówczas zależność:

$E_{r > R} (r) = \frac{k Q}{r ^{2}}$

Wiemy z poprzedniego podpunktu, że:

$k Q = 0, 00018 N \cdot \frac{m ^{2}}{C ^{2}}$

Zatem na tym przedziale funkcja wymierna ma postać:

$E_{r < R} (r) = \frac{0 , 00018}{r ^{2}}$

Mamy zatem funkcję:

$E (r) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 2, 8 \frac{0 , 00018}{r ^{2}} dla 0 < r < R r = R r > R$

Wykonajmy wykres:

$3.3.$

Dane w podpunkcie:

$r = 20 mm = 0, 02 m$

$q = 1 0^{- 16} C$

Szukane:

$E_{pot} = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie energii potencjalnej układu kulka - pyłek.

ENERGIA POTENCJALNA

Energię potencjalną układu dwóch oddziałujących ze sobą ładunków elektrycznych przedstawiamy wzorem:

$E_{pot} = \frac{k q _{1} q _{2}}{r}$

gdzie:

$E_{pot}$ - energia potencjalna elektrostatyczna,

$k$ - stała elektryczna,

$q_{1}, q_{2}$ - wartości ładunków elektrycznych,

$r$ - odległość między ładunkami.

Zatem energia potencjalna układu dla naszego przypadku ma postać:

$E_{pot} = \frac{k Q q}{r}$

gdzie:

$Q$ - wartość ładunku kulki,

$q$ - wartość ładunku pyłku,

$r$ - odległość pyłku od środka kuli.

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$E_{pot} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \frac{N \cdot m ^{2}}{C ^{2}} \cdot 2 \cdot 1 0 ^{- 14} C \cdot 1 0 ^{- 16} C}{2 \cdot 1 0 ^{- 2} m} =$

$= \frac{9 \cdot 1 0 ^{9 - 14 - 16} N \cdot m ^{2}}{1 0 ^{- 2} m} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{- 21} N \cdot m}{1 0 ^{- 2}} =$

$= 9 \cdot 1 0^{- 21 - (- 2)} J = 9 \cdot 1 0^{- 19} J$

Odpowiedź: Energia potencjalna układu kulka-pyłek wynosi $9 \cdot 1 0^{- 19} J$ .

$3.4$

Dane w podpunkcie:

$r = 20 mm = 0, 02 m$

$q = 1 0^{- 16} C$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ stała grawitacji: $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} N \cdot \frac{m ^{2}}{kg ^{2}}$ .

Szukane:

$E_{pot} = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie, jaka musiałaby być masa pyłku, aby siła oddziaływania elektrostatycznego równoważyła siłę oddziaływania grawitacyjnego:

$F_{C} = F_{g}$

gdzie:

$F_{C}$ - wartość siły oddziaływania elektrostatycznego,

$F_{g}$ - wartość siły oddziaływania grawitacyjnego.

PRAWO COULOMBA

Korzystając, z prawa Coulomba wiemy, że wartość siły oddziaływania pomiędzy naładowanymi elektrycznie ciałami możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$F_{C} = k \cdot \frac{∣ q _{1} q _{2} ∣}{r ^{2}}$

gdzie:

$F_{C}$ - wartość siły oddziaływania elektrostatycznego,

$k$ - stała elektryczna,

$q_{1}$ , $q_{2}$ - wartości ładunków elektrycznych,

$r$ - odległość między ładunkami.

Zatem w naszym przypadku dla pyłki i kulki otrzymujemy:

$F_{C} = \frac{k Q q}{r ^{2}}$

gdzie:

$Q$ - wartość ładunku kulki,

$q$ - wartość ładunku pyłku,

$r$ - odległość pyłku od środka kuli.

PRAWO POWSZECHNEGO CIĄŻENIA

Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia wartość oddziaływania grawitacyjnego pomiędzy dwoma ciałami przedstawiamy wzorem:

$F_{g} = \frac{G m _{1} m _{2}}{r ^{2}}$

gdzie:

$F_{g}$ - wartość siły grawitacji,

$G$ - stała grawitacji,

$m_{1}$ i $m_{2}$ - masy oddziałujących ze sobą ciał,

$r$ - odległość pomiędzy środkami tych mas.

Dla pyłki i kulki otrzymujemy:

$F_{g} = \frac{G M m}{r ^{2}}$

gdzie:

$M$ - masa kulki,

$m$ - masa pyłku.

Porównujemy obie siły i otrzymujemy, że masa pyłku powinna spełniać zależność:

$F_{g} = F_{C}$

$\frac{G M m}{r ^{2}} = \frac{k Q q}{r ^{2}} \cdot r^{2}$

$G M m = k Q q ∣ : G M$

$m = \frac{k Q q}{G M}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$m = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \frac{N \cdot m ^{2}}{C ^{2}} \cdot 2 \cdot 1 0 ^{- 14} C \cdot 1 0 ^{- 16} C}{6 , 6 \cdot 1 0 ^{- 11} \frac{N \cdot m ^{2}}{kg ^{2}} \cdot 0 , 01 kg} =$

$= \frac{18 \cdot 1 0 ^{9 - 14 - 16} N \cdot m ^{2}}{0 , 0667 \cdot 1 0 ^{- 11} \frac{N \cdot m ^{2}}{kg}} = \frac{18 \cdot 1 0 ^{- 21} N \cdot m ^{2} \cdot kg}{0 , 0667 \cdot 1 0 ^{- 11} N \cdot m ^{2}} \approx$