$\mathbf{a})$  

Dane:

$m=1\text{kg}$  

$M_M=6,42\cdot {10}^{23}\text{kg}$  

$R_M=3400\text{km}=3400000\text{m}=3,4\cdot {10}^6\text{m}$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ stała grawitacji: $G=6,67\cdot {10}^{-11}\text{N}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}$  .

Szukane:

$F_g=?$ 

Rozwiązanie:

Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia wartość oddziaływania grawitacyjnego pomiędzy dwoma ciałami przedstawiamy wzorem:

PRAWO POWSZECHNEGO CIĄŻENIA Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia wartość oddziaływania grawitacyjnego pomiędzy dwoma ciałami przedstawiamy wzorem: $F_{\text{g}}=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}$ gdzie: $F_{\text{g}}$ - wartość siły grawitacji, $G$  - stała grawitacji, $m_1$ i $m_2$  - masy oddziałujących ze sobą ciał, $r$  - odległość pomiędzy środkami tych mas.

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$F_g=\frac{6,67\cdot {10}^{-11}b\text{N}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot 1\text{kg}\cdot 6,42\cdot {10}^{23}\text{kg}}{{\left(3,4\cdot {10}^6\text{m}\right)}^2}=$  

$=\frac{42,8214\cdot {10}^{12}\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{11,56\cdot {10}^{12}{\text{m}}^2}\approx 3,7\text{N}$  

Odpowiedź: Ciało jest przyciągane siłą o wartości około 3,7 N.

 

$\mathbf{b})$  

Dane:

$m=1\mathrm{kg}$

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że:

$F_g=3,7\mathrm{N}$

Szukane:

$a=?$

Rozwiązanie:

Na spadające ciało działa siła ciężkości, która nadaje mu przyspieszenie. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki, wartość tej siły możemy wyrazić jako:

II ZASADA DYNAMIKI Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona wiemy, że przyspieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do siły wypadkowej działającej na to ciało. Wartość siły wypadkowej działającej na ciało możemy przedstawić wzorem: $F_w=ma$ gdzie: $F_w$ - wartość siły wypadkowej, $m$ - masa ciała,  $a$ - wartość przyspieszenia, z jakim układ się porusza.

Wyznaczamy wzór na wartość przyspieszenia:

$F_g=ma|:m$

$a=\frac{F_g}{m}$

Wstawiamy dane liczbowe:

$a=\frac{3,7\text{N}}{1\text{kg}}=3,7\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

Odpowiedź: Ciało będzie spadać z przyspieszeniem o wartości około $3,7\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

 

$\mathbf{c})$  

 Uzasadnienie: 

W poprzednim podpunkcie wykazaliśmy, że przyspieszenie ciała spadającego swobodnie przy powierzchni Marsa możemy wyrazić za pomocą wzoru:

$a=\frac{F_g}{m}$

gdzie:

$F_g$ - wartość siły ciężkości,

$m$ - masa spadającego ciała.

Widzimy więc, że wartość przyspieszenia jest zależna od masy spadającego ciała oraz wartości działającej na nie siły grawitacji. Wartość tej siły możemy wyrazić jako:

$F_g=\frac{Gm{M}_M}{R_M^2}$

gdzie:

$G$ - stała grawitacji,

$M_M$ - masa Marsa,

$R_M$ - promień Marsa.

Zatem:

$a=\frac{\frac{Gm{M}_M}{R_M^2}}{m}$

$a=\frac{G\cancel{m}{M}_M}{R_M^2}\cdot \frac{1}{\cancel{m}}$

$a=\frac{G{M}_M}{R_M^2}$

Na podstawie powyższego wzoru możemy stwierdzić, że wartość przyspieszenia jest niezależna od masy spadającego ciała, dlatego dla dowolnego ciała będzie jednakowa - wartość przyspieszenia grawitacyjnego jest wielkością charakteryzującą dane ciało niebieskie, a nie spadający obiekt.

 Odpowiedź: 

Każde ciało będzie miało takie samo przyspieszenie, ponieważ wyznaczone przyspieszenie jest przyspieszeniem grawitacyjnym Marsa.