$\mathbf{a})$  

 Uzasadnienie: 

Naszym celem jest narysowanie krzywej przedstawiającej energię kinetyczną układu. Wiemy, że podczas swojego ruchu doniczka ma dwa rodzaje energii - kinetyczną i potencjalną. Zgodnie z zasadą zachowania energii suma tych dwóch energii musi mieć stałą wartość niezależnie od czasu co możemy zapisać w postaci równania:

$E_c=E_k+E_p$  

gdzie:

$E_c$ - całkowita energia mechaniczna,

$E_k$ - energia kinetyczna,

$E_p$ - energia potencjalna.

Pod koniec swojego ruchu doniczka posiadała jedynie energię kinetyczną, więc całkowita energia układu będzie równa właśnie jej wartości. Z wykresu możemy odczytać tę wartość w taki sam sposób, jak w pozostałych chwilach. Aby to zrobić, znajdujemy odpowiednie momenty czasu na osi X i prowadzimy przez nie pionowe linie. W miejscach, w których przecinają się one z krzywą, rysujemy linie poziome. Punkty przecięcia tych linii z osią Y odpowiadają wartościom energii kinetycznej doniczki. tą metodą możemy odczytać wartości energii kinetycznej jak na rysunku poniżej:

Z grafiki odczytujemy:

$E_{k0}=0\text{J}$ dla $t=0\text{s}$

$E_{k1}=0,5\text{J}$ dla $t=0,1\text{s}$

$E_{k2}=2\text{J}$ dla $t=0,2\text{s}$

$E_{k3}=4,5\text{J}$ dla $t=0,3\text{s}$

$E_{k4}=8\text{J}$ dla $t=0,4\text{s}$

$E_{k5}=12,5\text{J}$ dla $t=0,5\text{s}$

Jak mówiliśmy, pod koniec swojego ruchu doniczka posiadała jedynie energię kinetyczną, więc możemy zapisać:

$E_c=E_{k5}$

$E_c=12,5\text{J}$

Znamy energię kinetyczną dla poszczególnych czasów ruchu doniczki oraz całkowitą energię mechaniczną układu, czyli energię potencjalną możemy przedstawić wzorem:

$E_k+E_p=E_c\mid -E_k$   

$E_p=E_c-E_k$  

Obliczamy energię potencjalną dla kolejnych punktów:

$E_{p0}=12,5\mathrm{J}-0\mathrm{J}=12,5\mathrm{J}$

$E_{p1}=12,5\mathrm{J}-0,5\mathrm{J}=12\mathrm{J}$

$E_{p2}=12,5\mathrm{J}-2\mathrm{J}=10,5\mathrm{J}$

$E_{p3}=12,5\mathrm{J}-4,5\mathrm{J}=8\mathrm{J}$

$E_{p4}=12,5\mathrm{J}-8\mathrm{J}=4,5\mathrm{J}$

$E_{p5}=12,5\mathrm{J}-12,5\mathrm{J}=0\mathrm{J}$

 Odpowiedź: 

Zaznaczmy punkty na wykresie i szkicujmy zależność energii potencjalnej od czasu:

 

$\mathbf{b})$  

Dane:

$m=1\mathrm{kg}$

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że:

$E_{p0}=12,5\mathrm{J}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$.

Szukane:

$h=?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest obliczenie, na jakiej wysokości znajdowała się doniczka, zanim spadła ze stołu. Wiemy, że początkowo doniczka posiadała wyłącznie energię potencjalną, którą możemy obliczyć ze wzoru:

ENERGIA POTENCJALNA PRZY POWIERZCHNI ZIEMI Energię potencjalną ciała w jednorodnym polu grawitacyjnym w pewnej odległości od poziomu przyjętego za początkowy przedstawiamy za pomocą wzoru: $E_p=mgh$  gdzie: $E_p$  - energia potencjalna ciała, $m$ - masa ciała,  $g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego, $h$ - wysokość ciała nad poziomem przyjętym za początkowy.

Wyznaczamy wzór na wysokość:

$E_0=mgh\mid :mg$  

$\frac{E_p}{mg}=h$  

$h=\frac{E_p}{mg}$  

Wstawiamy dane liczbowe:

$h=\frac{12,5\text{J}}{1\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=\frac{12,5\text{J}}{10\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=\frac{12,5\text{N}\cdot \text{m}}{10\text{N}}=$

$=1,25\text{m}$  

Odpowiedź: Doniczka spadała z wysokości 1,25 m.