Dane:

$\alpha =30^{\circ }$

$d=100\text{m}$

Szukane:

$h=\text{?}$

Rozwiązanie:

Mamy sytuację, w której pocisk zostaje wystrzelony rzutem ukośnym, a rzutka rzutem pionowym. Naszym zadanie jest znalezienie maksymalnej wysokości, na jaką mogła wznieść się rzutka. Zauważmy, że zgodnie z treścią zadania w chwili, gdy rzutka znajdowała się w maksymalnej wysokości, to pocisk został wystrzelony. Oznacza to, że do chwili spotkania w pionie rzutka przebędzie pewną drogę wynikającą, z jej spadku swobodnego z maksymalnej wysokości, jaką osiągnęła. Pocisk w tym czasie w pionie będzie wznosił się na pewną wysokość, na której zderza się z rzutką, a w poziomie przebywa drogę odpowiadającą odległości pomiędzy miejscem wystrzelenia pocisku, a rzutki. Wykonajmy rysunek pomocniczy:

gdzie:

$d$ - odległość od miejsca wystrzelenia pocisku, w jakiej rzutka jest podrzucana (droga, jaką w poziomie pokona pocisk), 

$H$ - wysokość maksymalna rzutki (szukana), 

$y_{\text{p}}$ - droga, jaką w pionie pokona pocisk do chwili zderzenia z rzutką, 

$y_{\text{rz}}$ - droga, jaką w pionie pokona rzutka do chwili zderzenia z pociskiem,

${\vec{v}}_0$ - prędkość początkowa pocisku, 

${\vec{v}}_{0x}$ - składowa pozioma prędkości początkowej,

${\vec{v}}_{0y}$ - składowa pionowa prędkości początkowej, 

$\alpha$ - kąt pod jakim wystrzelono pocisk.

Z rysunku dołączonego do zadania oraz z funkcji trygonometrycznych wynika, że wzór na wartość składowej pionowej prędkości początkowej pocisku ma postać:

$\frac{v_{0y}}{v_0}=\sin \alpha |\cdot v_0$

$v_{0y}=v_0\sin \alpha$

Natomiast wzór na wartość składowej poziomej prędkości początkowej pocisku ma postać:

$\frac{v_{0x}}{v_0}=\cos \alpha |\cdot v_0$

$v_{0x}=v_0\cos \alpha$

Zauważmy, że maksymalna wysokość, na jakiej mogła znajdować się rzutka będzie sumą drogi przebytej przez pocisk w pionie aż do osiągnięcia maksymalnej wysokości i drogi przebytej przez rzutkę do momentu zderzenia z pociskiem:

$H=y_{\text{rz}}+y_{\text{p}}$

gdzie:

$y_{\text{p}}$ - droga, jaką w pionie pokona pocisk do chwili zderzenia z rzutką, 

$y_{\text{rz}}$ - droga, jaką w pionie pokona rzutka do chwili zderzenia z pociskiem.

Teraz przejdziemy do wyznaczenia poszczególnych dróg.

Droga $y_{\text{p}}$ przebyta w pionie przez pocisk

Pocisk porusza się w pionie ruchem jednostajnie opóźnionym z opóźnieniem równym przyspieszeniu ziemskiemu, a jego prędkość początkowa w tym kierunku to składowa pionowa prędkości początkowej ${\vec{v}}_{0y}$. Drogę w ruchu jednostajnie opóźnionym opisuje wzór:

$s=v_{p}t-\frac{1}{2}a{t}^2$

gdzie:

$s$ - droga przebyta przez ciało,

$v_p$ - wartość prędkości początkowej,

$a$ - wartość opóźnienia,

$t$ - czas ruchu.

Korzystając z powyżej zależności zapiszemy, że pocisk w pionie pokona drogę:

$y_{\text{p}}=v_{0y}t-\frac{1}{2}g{t}^2$

Droga $y_{\text{rz}}$ przebyta w pionie przez spadającą rzutkę

Zauważmy, że rzutka spada swobodnie. Droga przebyta przez ciało w spadku swobodnym ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem ziemskim odpowiada wysokości z jakiej spada ciało. Wówczas możemy zapisać, że droga przebyta przez rzutkę opisuje wzór:

$y_{\text{rz}}=\frac{1}{2}g{t}^2$

Zwróćmy uwagę, że droga ruchu pocisku jak i rzutki jest taka sama.

Wysokość z jakiej spada rzutka

Z poprzednich rozważań wiemy, że wzór na wysokość z jakiej spada rzutka przyjmuję postać:

$H=y_{\text{rz}}+y_{\text{p}}$

Wprowadzamy wyznaczone wzory:

$H=\xcancel{\frac{1}{2}g{t}^2}+v_{0y}t-\xcancel{\frac{1}{2}g{t}^2}$

Wówczas:

$H=v_{0y}t$

Zauważmy, że nie znamy czasu ruchu pocisku. Jednak, gdy pocisk przebywa drogę $y_{\text{p}}$ w kierunku pionowym to jednocześnie przebywa odległość $d$ w kierunku poziomym. Pocisk w poziomie porusza się ze stałą prędkością równą składowej poziomej prędkości początkowej, zatem porusza się ruchem jednostajnym. Drogę w ruchu jednostajnym opisuje wzór:

$s=vt$

gdzie:

$s$ - droga przebyta przez ciało,

$v$ - wartość prędkości ciała,

$t$ - czas ruchu ciała.

W naszym przypadku droga przebyta przez pocisk w kierunku poziomym jest równa odległości od miejsca wystrzelenia pocisku do miejsca, gdzie rzutka jest wyrzucana. Korzystając z powyższych rozważań zapiszemy, że odległość $d$przedstawimy wzorem:

$d=v_{0x}t$

gdzie:

$d$ - droga w poziomie pokonywana przez pocisk, 

$v_{0x}$ - wartość składowej poziomej prędkości początkowej pocisku, 

$t$ - czas ruchu pocisku w tym kierunku.

Przekształcając powyższy wzór otrzymamy wzór na czas ruchu pocisku:

$v_{0x}t=d|:v_{0x}$

$t=\frac{d}{v_{0x}}$

Wracamy do wzoru na wysokość z jakiej powinna spadać rzutka:

$H=v_{0y}t$

$H=v_{0y}\frac{d}{v_{0x}}$

$H=\frac{v_{0y}}{v_{0x}}d$

Wprowadzamy wcześniej wyznaczone wzoru na wartości składowych prędkości:

$H=\frac{\cancel{v_0}\sin \alpha }{\cancel{v_0}\cos \alpha }d$

$H=\mathrm{tg}\alpha d$

$H=d\mathrm{tg}\alpha$

Z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych lub z kalkulatora naukowego odczytujemy:

$\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$H=100\text{m}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=$

$\approx \frac{100\cdot 1,732}{3}\text{m}=$

$=\frac{173,2}{3}\text{m}\approx 57,7\text{m}$

Odpowiedź: Maksymalna wysokość osiągnięta przez rzutkę powinna wynosić około 57,7 m.