$\mathbf{a})$

Z rysunku przedstawionego w treści zadania odczytujemy:

▶ położenie białego pionka: pole 5E, punkt $\left(5,5\right)$ lub punkt $\left(\text{E},5\right)$,

▶ położenie czarnego pionka: pole 4F, punkt $\left(6,4\right)$ lub punkt $\left(\text{F},4\right)$.

 

$\mathbf{b})$

Szukane:

${\vec{r}}_b=\text{?}$

$\left|{\vec{r}}_b\right|=\text{?}$

${\vec{r}}_c=\text{?}$

$\left|{\vec{r}}_c\right|=\text{?}$

Rozwiązanie:

Zadaniem naszym jest wyznaczenie współrzędnych wektorów położenia białego i czarnego pionka oraz ich długości. Zaznaczamy na rysunku szukane wektory położenia:

Z rysunku odczytujemy współrzędne wektora położenia dla białego pionka:

${\vec{r}}_b=\left[5,5\right]$

Długość wektora na płaszczyźnie opisuje wzór:

$\left|\vec{r}\right|=\sqrt{r_x^2+r_y^2}$

gdzie:

$\vec{r}$ - wektor na płaszczyźnie,

$r_x,r_y$ - współrzędne wektora.

 Korzystając z powyższego wzoru wyznaczamy długość wektora położenia dla białego pionka:

$\left|{\vec{r}}_b\right|=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=$

$=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$

Z rysunku odczytujemy współrzędne wektora położenia dla czarnego pionka:

${\vec{r}}_c=\left[6,4\right]$

Korzystając ze wzoru na długość wektora na płaszczyźnie obliczamy długość wektora położenia dla czarnego pionka:

$\left|{\vec{r}}_c\right|=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=$

$=\sqrt{4\cdot 13}=2\sqrt{13}$

Odpowiedź: Współrzędne wektora położenia białego pionka to [5, 5], czarnego pionka to [6, 4], a ich długości wynoszą odpowiednio $5\sqrt{2}$ i $2\sqrt{13}$.

 

$\mathbf{c})$

Dane:

$\left(\text{D},6\right)$

Z poprzedniego podpunktu:

${\vec{r}}_{c_1}=\left[6,4\right]$

Szukane:

${\vec{r}}_{c_2}=\text{?}$

$\left|\Delta \vec{r}\right|=\text{?}$

Rozwiązanie:

Pionek czarny zbił białego pionka i ostatecznie znalazł się na polu 6D:

Zatem po ruchu zmienił swoje położenie: 

Jego nowe położenie opisuje wektor ${\vec{r}}_{c_2}$, którego współrzędne wynoszą:

${\vec{r}}_{c_2}=\left[4,6\right]$

Przemieszczenie pionka opisuje wektor przemieszczenia będący różnicą wektora położenia końcowego ${\vec{r}}_k$ i położenia początkowego ${\vec{r}}_p$:

$\Delta \vec{r}={\vec{r}}_k-{\vec{r}}_p$

gdzie:

$\Delta r$ - wektor przemieszczenia ciała,

${\vec{r}}_k$ - wektor położenia końcowego,

${\vec{r}}_p$ - wektor położenia początkowego.

W naszym przypadku wzór na wektor przemieszczenia czarnego pionka przyjmuję postać:

$\Delta \vec{r}={\vec{r}}_{c_2}-{\vec{r}}_{c_1}$

Zatem:

$\Delta r=\left[4,6\right]-\left[6,4\right]=\left[4-6,6-4\right]=\left[-2,2\right]$

Długość wektora na płaszczyźnie opisuje wzór:

$\left|\vec{r}\right|=\sqrt{r_x^2+r_y^2}$

gdzie:

$\vec{r}$ - wektor na płaszczyźnie,

$r_x,r_y$ - współrzędne wektora.

Korzystając z powyższego wzoru wyznaczamy długość (wartość) wektora przemieszczenia:

$\left|\Delta \vec{r}\right|=\sqrt{(-2{)}^2+(2{)}^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$

Odpowiedź: Współrzędne położenia końcowego czarnego pionka to [4, 6], a wartość przemieszczenia wynosi $2\sqrt{2}$.