Uwaga! Wyniki otrzymane w tym rozwiązaniu mogą się różnić od odpowiedzi podanych na końcu zbioru zadań, ponieważ została przyjęta inna wartość przyspieszenia ziemskiego. Warto zauważyć, że w treści zadania nie określono, jaką wartość przyspieszenia ziemskiego mamy przyjąć.

Dane:

$H=10\text{cm}=0,1\text{m}=10^{-1}\text{m}$

$b=6\text{cm}=0,06\text{m}=6\cdot 10^{-2}\text{m}$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

Szukane:

Wykres $F\left(h\right)$

$d=\text{?}$

$m=\text{?}$

$F_{w.\max }=\text{?}$

Rozwiązanie:

Zadaniem naszym jest sporządzenie wykresu zależności wartości siły, którą wskazuje siłomierz oraz gęstość cieczy, masę zanurzonego ciała jak i również maksymalną wartość siły wyporu, która działa na zanurzone ciało.

Wykres $F\left(h\right)$

W treści zadania mamy przedstawioną tabelę z wynikami pomiarów. Najpierw rysujemy osie wykresu wraz z oznaczeniami i odpowiednimi zakresami osi:

Następnie nanosimy na wykres wyniki pomiarów jako punkty:

 Następnie łączymy wszystkie narysowane punkty:

Zauważamy, że na wykresie możemy oddzielić 3 charakterystyczne zakresy:

Z wykresu odczytujemy:

• zakres 1, $h\in ⟨2;4⟩$, wskazanie siłomierza jest stałe i wynosi $16,42\text{N}$,
• zakres 2, $h\in ⟨4;10⟩$, wskazanie siłomierza rośnie liniowo od $16,42\text{N}$ do $18,58\text{N}$,
• zakres 3, $h\in ⟨10;12⟩$, wskazanie siłomierza jest stałe i wynosi $18,58\text{N}.$

Teraz przejdziemy do wyjaśnienia, co dokładnie wskazuje siłomierz i dlaczego jego wskazania zmieniają się tak, jak pokazano na wykresie.

Siły działające na sześcian

W treści zadania mamy powiedziane, że w naczyniu z cieczą został zanurzony stalowy sześcian o boku $b$. Na sześcian zanurzony w cieczy działają dwie siły:

• siła ciężkości ${\vec{F}}_g$ zwrócona pionowo w dół,
• siła wyporu cieczy ${\vec{F}}_w$ zwrócona pionowo w górę.

Wartość siły ciężkości opisuje wzór:

$F_g=mg$

gdzie:

$F_g$ - wartość siły ciężkości,

$m$ - masa ciała,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Natomiast wartość siły wyporu cieczy, która ma zwrot przeciwny do siły ciężkości zanurzonego ciała, opisuje wzór:

$F_w=dg{V}_z$

gdzie:

$F_w$ - wartość siły wyporu,

$d$ - gęstość cieczy,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$V_z$ - objętość zanurzonego ciała, która jest równa objętości wypartej cieczy przez to ciało.

Masa sześcianu nie zmienia się wraz z zanurzeniem w cieczy, zatem wartość siły ciężkości jest stała:

$F_g=\text{const.}$

Natomiast wartość siły wyporu cieczy zależy od zanurzonej objętości ciała w cieczy, która może się zmieniać np. poprzez wyciąganie sześcianu za pomocą nici:

$F_w\sim V_z$

Skoro więc objętość może się zmieniać, a wartość siły wyporu cieczy jest wprost proporcjonalna do objętości zanurzonego ciała, to oznacza, że wartość siły wyporu cieczy również będzie się zmieniać. Zapiszemy więc, że na sześcian zanurzony w cieczy będzie działać niezerowa wypadkowa siła ${\vec{F}}_{\text{wyp.}}$, której wartość opisuje wzór:

$F_{\text{wyp.}}=F_g-F_w$

Zauważmy, że sześcian jest przyczepiony nicią do siłomierza. Oznacza to, że na sześcian działa siła naciągu nici zwrócona pionowo w górę. Podane mamy również, że uczeń podnosi sześcian tak, aby wznosił się on ruchem jednostajnym. Zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona wiemy, że jeżeli na ciało nie działają siły lub wszystkie siły się równoważą, to ciało  spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym. W naszym przypadku wiemy, że na sześcian działają siły, zatem, aby mógł on poruszać się ruchem jednostajnym, to wszystkie siły działające na sześcian muszą się równoważyć. Inaczej mówiąc, siła wypadkowa ${\vec{F}}_{\text{wyp.}}$ (będąca złożeniem siły wyporu cieczy oraz siły ciężkości) jest skierowana pionowo w dół, zatem, aby siły się równoważyły, to wartość siły naciągu nici (lub siły, z jaką chłopiec podnosi sześcian) musi być równa wartości siły wypadkowej:

$F_{\text{n}}=F_{\text{wyp.}}$

Zauważmy, że właśnie wskazanie siłomierza odpowiada wartości siły wypadkowej (lub wartości siły naciągu nici), która działa na ciało. W treści zadania oznaczyliśmy wskazanie siłomierza jako $F$, zatem:

$F=F_{\text{wyp.}}$

$F=F_g-F_w$

Widzimy, że wskazanie, to różni się od wysokości, na jakiej znajdowała się dolna podstawa sześcianu, ponieważ zmieniała się zanurzona objętość sześcianu. Możemy rozróżnić trzy etapy:

• etap I: sześcian jest całkowicie zanurzony w cieczy,
• etap II: sześcian jest częściowo zanurzony w cieczy,
• etap III: sześcian nie jest zanurzony w cieczy.

Teraz rozważmy różne etapy wyciągania sześcianu z cieczy.

Etap I, całkowite zanurzenie sześcianu

Sześcian o wymiarach $b$ na początku znajdował się na dnie naczynia, który jest wypełniony cieczą na wysokość $H$. Wykonajmy rysunek pomocniczy:

W tym etapie sześcian jest całkowicie zanurzony w cieczy do momentu, gdy górna część znajdzie się na poziomie powierzchni cieczy. W trakcie wyciągania sześcianu jego dolna podstawa zaczyna znajdować się na wysokości $h$ względem dna naczynia.

Skoro w tym etapie sześcian jest całkowicie zanurzony, to wówczas nie zmienia się wartość siły wyporu cieczy działająca na sześcian, ponieważ objętość zanurzona w cieczy jest stała równa całkowitej objętości sześcianu:

$V_z=V$

Objętość sześcianu opisuje wzór:

$V_{\text{sz}}=a^3$

gdzie:

$a$ - długość krawędzie sześcianu.

W naszym przypadku mamy:

$V=b^3$

Wówczas, korzystając z wcześniej wyznaczonych zależności, mamy:

$F_{\text{n}}=F_{\text{wyp.}}$

$F_{\text{n}}=F_g-F_w$

$F_{\text{n}}=mg-dgV$

Rysujemy wektory sił, które działają na sześcian w tym etapie ruchu.

Wartość siły wypadkowej działającej na sześcian w etapie I jest stała i wynosi (odczytując z wykresu):

$F_I=16,42\text{N}$

Zatem możemy ostatecznie zapisać:

$F_I=mg-dgV$

Etap II, częściowe zanurzenie sześcianu

W tym etapie sześcian jest częściowo zanurzony w cieczy do momentu, gdy dolna część znajdzie się (prawie) na poziomie powierzchni cieczy. Przyjmujemy, że wysokość sześcianu, która jest zanurzona, opisuje wielkość $x$.

Wówczas część sześcianu, która jest zanurzona, ma wymiary $b\times b\times x$, czyli ma kształt prostopadłościanu. Objętość prostopadłościanu opisuje wzór:

$V_{\text{pros}}=abc$

gdzie:

$a,b,c$ - wymiary prostopadłościanu.

Korzystając z powyższego wzoru, zapiszemy, że wzór na objętość zanurzonej części sześcianu przyjmuje postać:

$V_z=b^{2}x$

Z rysunku odczytamy zależność wielkości $H$, $h$ oraz $x$:

$H=h+x|-h$

$H-h=x$

$x=H-h$

Wracamy do wzoru na objętość zanurzonej części sześcianu i podstawiamy wzór na wielkość $x$:

$V_z=b^{2}x$

$V_z=b^2\left(H-h\right)$

Skoro objętość zanurzonej części sześcianu zmienia się wraz z wysokością $h$ dolnej podstawy sześcianu względem dna naczynia, to zmienia się również wartość siły wyporu cieczy. Okazuje się, że wartość ta się zmniejsza:

$F_w=dg{V}_z$

$F_w=dg{b}^2\left(H-h\right)$

$F_w=dg{b}^{2}H-dg{b}^{2}h$

Im większe $h$, tym mniejsza wartość siły wyporu cieczy, czyli im mniejsze zanurzenie sześcianu, tym mniejsza wartość siły, z jaką ciecz wypiera sześcian.

Wówczas, korzystając z wcześniej wyznaczonych zależności, mamy:

$F_{\text{n}}=F_{\text{wyp.}}$

$F_{\text{n}}=F_g-F_w$

$F_{\text{n}}=mg-dg{b}^2\left(H-h\right)$

$F_{\text{n}}=mg-dg{b}^{2}H+dg{b}^{2}h$

$F_{\text{n}}=\underset{\text{stałe}}{\underbrace{mg-dg{b}^{2}H}}+\underset{\text{zmienia się}}{\underbrace{dg{b}^{2}h}}$

Widzimy więc, że wartość siły naciągu nici (lub siła, z jaką chłopiec musi działać na skrzynię) podczas podnoszenia zwiększa się, co obserwujemy na wskazaniu siłomierza.

Rysujemy wektory sił, które działają na sześcian w tym etapie ruchu.

Ostatecznie zapiszemy:

$F_{II}=mg-dg{b}^{2}H+dg{b}^{2}h$

Etap III, sześcian nie jest zanurzony w cieczy

 W pewnym momencie sześcian zostanie całkowicie wyciągnięty z cieczy. Wówczas siła naciągu nici musi równoważyć siłę ciężkości, która działa na sześcian:

$F_{\text{n}}=F_g$

$F_{\text{n}}=mg$

Wartość siły naciągu nici działającej na sześcian w etapie III jest stała i wynosi (odczytując z wykresu):

$F_{III}=18,58\text{N}$

Zatem możemy ostatecznie zapisać:

$F_{III}=mg$

Masa ciała, gęstość cieczy oraz maksymalna wartość siły wyporu

 Z przeprowadzonych rozważań trzech etapów ruchu sześcianu otrzymaliśmy trzy równania:

$\{\begin{array}{rl}& F_I=mg-dgV\\ & F_{II}=mg-dg{b}^{2}H+dg{b}^{2}h\\ & F_{III}=mg\end{array}$

Wiemy, że objętość całkowita sześcianu dana jest wzorem:

$V=b^3$

Wówczas:

$\{\begin{array}{rl}& F_I=mg-dg{b}^3\\ & F_{II}=mg-dg{b}^{2}H+dg{b}^{2}h\\ & F_{III}=mg\end{array}$

Z wykresu (lub z tabeli) odczytujemy:

$F_I=16,42\text{N}$

$F_{III}=18,58\text{N}$

Przekształcamy trzecie równanie:

$mg=F_{III}|:g$

$m=\frac{F_{III}}{g}$

Podstawiamy dane i obliczamy masę sześcianu:

$m=\frac{18,58\text{N}}{10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=$

$=\frac{18,58}{10}\frac{\text{kg}\cdot \cancel{\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}}{\cancel{\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}}=1,858\text{kg}$

Następnie chcemy wyznaczyć gęstość cieczy. W tym celu przekształcamy pierwsze równanie:

$F_I=mg-dg{b}^3|+dg{b}^3$

$F_I+dg{b}^3=\underset{F_{III}}{\underbrace{mg}}|-F_I$

$dg{b}^3=F_{III}-F_I|:g{b}^3$

$d=\frac{F_{III}-FI}{g{b}^3}$

Podstawiamy dane i obliczamy gęstość cieczy:

$d=\frac{18,58\text{N}-16,42\text{N}}{10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(6\cdot 10^{-2}\text{m}\right)}^3}=$

$=\frac{2,16\text{N}}{10\cdot 216\cdot 10^{-6}\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\text{m}}^3}=$

$=\frac{2,16}{2,16\cdot 10^2\cdot 10^1\cdot 10^{-6}}\frac{\text{kg}\cdot \cancel{\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}}{\cancel{\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}\cdot {\text{m}}^3}=$

$=\frac{2,16}{2,16}\cdot \frac{1}{10^{-3}}\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}=1\cdot 10^3\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}=1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$

Z otrzymanego wyniku możemy wyciągnąć wniosek, że sześcian został zanurzony w wodzie. Teraz przechodzimy do wyznaczenia maksymalnej siły wyporu.

Zauważmy, że na sześcian działa siła wyporu cieczy w etapie I oraz w etapie II. Wiemy, że wartość siły wyporu jest zależna od objętości zanurzonego ciała. Wyciągamy więc wniosek, że siła wyporu będzie miała największą wartość, gdy ciało będzie zanurzone całkowicie, czyli posłużymy się równaniem otrzymanym w I etapie, ponieważ to w tym etapie siła wyporu ma wartość największą:

$F_I=F_g-F_{w.\max }$

Wiemy, że:

$F_g=F_{III}$

Wówczas:

$F_I=F_{III}-F_{w.\max }+F_{w.\max }$

$F_I+F_{w.\max }=F_{III}|-F_I$

$F_{w.\max }=F_{III}-F_I$

Podstawiamy dane i obliczamy:

$F_{w.\max }=18,58\text{N}-16,42\text{N}=2,16\text{N}$

Odpowiedź: Masa sześciany wynosi $1,858\text{kg}$, natomiast gęstość cieczy wynosi $1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$. Największa wartość siły wyporu cieczy wynosi $2,16\text{N}$.