Dane:

$H=11,2\text{m}$  

$a=1,2\text{m}$  

$b=1,4\text{m}$  

$p_{\text{at}}=1013\text{hPa}=1,013\cdot {10}^3\text{hPa}=1,013\cdot 10^5\text{Pa}$  

$d_w=1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$  

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=9,81\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$.

 

$\mathbf{a})$  

Szukane:

$F_p=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie wartości siły parcia wody, działającą na pokrywę skrzyni. Wartość siły parcia przedstawiamy zależnością:

$F_p=pS$

gdzie:

$F_p$ - wartość siły parcia działającej na pewną powierzchnię,

$p$ - ciśnienie wywierane na tę powierzchnię, 

$S$ - pole tej powierzchni. 

Na ciśnienie wywierane na powierzchnię skrzyni składa się ciśnienie atmosferyczne oraz ciśnienie hydrostatyczne. Jeżeli skrzynia znajduje się w położeniu bocznym, to ciśnienie hydrostatyczne wywierane na pokrywę skrzyni zmienia się liniowo. Zatem, aby obliczyć wartość siły parcia działającą na pokrywę, musimy znaleźć średnie ciśnienie hydrostatyczne wywierane na pokrywę tej skrzyni. Ciśnienie hydrostatyczne przedstawiamy wzorem:

$p=dgh$ 

gdzie:

$p$ - ciśnienie hydrostatyczne, 

$d$ - gęstość cieczy wywierającej parcie na dno naczynia,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego, 

$h$ - wysokość słupa cieczy, która wywiera ciśnienie hydrostatyczne na rozważanej głębokości.

Ciśnienie zależy od wysokości słupa wody. Wówczas na dnie zbiornika ciśnienie hydrostatyczne wywierane na pokrywę skrzyni będzie maksymalne, ma postać:

$p_{h.\max }=d_{w}gH$

gdzie:

$p_{h.\max }$ - maksymalna wartość ciśnienia wywierana na pokrywę skrzyni,

$d_w$ - gęstość wody,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$H$ - wysokość słupa wody (głębokość zbiornika).

Natomiast ciśnienie wywierane na górną część pokrywy będzie mniejsze, ponieważ nad górną częścią pokrywy jest mniejszy słup wody, ciśnienie to ma postać:

$p_{h.\min }=d_{w}g\left(H-a\right)$

gdzie:

$p_{h.\min }$ - minimalna wartość ciśnienia wywierana na pokrywę skrzyni,

$a$ - wysokość skrzyni. 

Wówczas średnie ciśnienie hydrostatyczne wywierane na pokrywę skrzyni obliczymy za pomocą średniej arytmetycznej:

$p_h=\frac{p_{h.\max }+p_{h.\min }}{2}$  

gdzie:

$p_h$ - średnie ciśnienie hydrostatyczne działające na pokrywę skrzyni.

Podstawiając wyprowadzone wcześniej zależności na maksymalne i minimalne ciśnienie:

$p_h=\frac{d_{w}gH+d_{w}g\left(H-a\right)}{2}$  

$p_h=\frac{d_{w}gH+d_{w}gH-d_{w}ga}{2}$  

$p_h=\frac{2d_{w}gH-d_{w}ga}{2}$  

$p_h=d_{w}gH-\frac{1}{2}{d}_{w}ga$  

$p_h=d_{w}g\left(H-\frac{1}{2}a\right)$  

Zatem całkowite ciśnienie wywierane na pokrywę skrzyni będzie miało postać:

$p_c=p_{at}+p_h$  

gdzie:

$p_c$ - całkowite ciśnienie działające na pokrywę skrzyni.

$p_c=p_{at}+d_{w}g\left(H-\frac{1}{2}a\right)$  

Pole powierzchni pokrywy jest prostokątem i będzie wynosiło:

$S=ab$  

gdzie:

$S$ - powierzchnia pokrywy skrzyni,

$a$ - krótszy bok pokrywy,

$b$ - dłuższy bok pokrywy.

Zatem siła parcia działająca na pokrywę skrzyni będzie miała wartość:

$F_p=p_{c}S$

gdzie:

 $F_p$ - wartość siły parcia działająca na pokrywę.

Podstawiając $p_c=p_{at}+d_{w}g\left(H-\frac{1}{2}a\right)$ oraz $S=ab$:

$F_p=\left(p_{at}+d_{w}g\left(H-\frac{1}{2}a\right)\right)ab$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$F_p=\left(1,013\cdot {10}^5\text{Pa }+1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \left(11,2\text{m }-\frac{1}{2}\cdot 1,2\text{m}\right)\right)\cdot 1,2\text{m }\cdot 1,4\text{m }=$  

$=\left(1,013\cdot {10}^5\text{Pa }+9810\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^2\cdot {\text{s}}^2}\cdot \left(11,2\text{m }-0,6\text{m}\right)\right)\cdot 1,68{\text{m}}^2=$  

$=\left(1,013\cdot {10}^5\text{Pa }+9810\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^2\cdot {\text{s}}^2}\cdot 10,6\text{m}\right)\cdot 1,68{\text{m}}^2=$  

$=\left(1,013\cdot {10}^5\text{Pa }+103986\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^2\cdot \text{s}}\right)\cdot 1,68{\text{m}}^2=$  

$=\left(1,013\cdot {10}^5\text{Pa }+1,03986\cdot {10}^5\text{Pa}\right)\cdot 1,68{\text{m}}^2=$  

$=2,05286\cdot {10}^5\text{Pa }\cdot 1,68{\text{m}}^2=3,4488048\cdot {10}^5\text{Pa }\cdot {\text{m}}^2=$  

$=344,88048\cdot {10}^3\text{N }\approx 345\cdot {10}^3\text{N }\approx 345\text{kN}$  

Odpowiedź: Wartość siły parcia wynosi około $345\text{kN}$.

 

$\mathbf{b})$  

Szukane:

$F_w=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie wypadkowej siły działającej na pokrywę. Na skrzynię działają dwie siły, oby dwie są siłami parcia. Wartość siły parcia przedstawiamy zależnością:

$F_p=pS$

gdzie:

$F_p$ - wartość siły parcia działającej na pewną powierzchnię,

$p$ - ciśnienie wywierane na tę powierzchnię, 

$S$ - pole tej powierzchni. 

W skrzyni panuje ciśnienie atmosferyczne, czyli siła parcia wywierana przez to ciśnienie na pokrywę skrzyni ma wartość:

$F_{p.at}=p_{at}S$

gdzie:

$F_{p.at}$ - wartość siły parcia ciśnienia atmosferycznego.

$p_{at}$ - ciśnienie atmosferyczne,

$S$ - powierzchnia pokrywy skrzyni. 

Pole powierzchni pokrywy jest prostokątem i będzie wynosiło:

$S=ab$  

gdzie:

$S$ - powierzchnia pokrywy skrzyni,

$a$ - krótszy bok pokrywy,

$b$ - dłuższy bok pokrywy.

Zatem wartość siły parcia ciśnienia atmosferycznego będzie wynosiła:

$F_{p.at}=p_{at}ab$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$F_{p.at}=1,013\cdot {10}^5\text{Pa }\cdot 1,2\text{m }\cdot 1,4\text{m }=$  

$=1,70184\cdot {10}^5\text{Pa }\cdot {\text{m}}^2=$

$=170,184\cdot {10}^3\text{N}\approx 170\text{kN}$  

Zwrot siły parcia atmosferycznego wewnątrz skrzyni jest przeciwny do siły parcia wynikającej z ciśnienia wywieranego przez wodę na pokrywę skrzyni, czyli wartość wypadkowej siły wynosi:

$F_w=F_p-F_{p.at}$

gdzie:

$F_w$ - wartość siły parcia działająca na pokrywę skrzyni,

$F_p$ - wartość  siły parcia działająca na pokrywę skrzyni, wynikająca z ciśnienia wywieranego przez wodę.

Podstawmy dane liczbowe, skorzystajmy z wartości siły $F_p$ wyznaczonej w podpunkcie $a)$ tego zadania:

$F_w=345\text{kN }-170\text{kN }=175\text{kN}$  

Siła o wartości $175\text{kN}=175000\text{N}$ to jest siła, która w przybliżeniu odpowiada ciężarowi ciała o masie około $17500\text{kg}$. Płetwonurek nie będzie w stanie otworzyć skrzyni.

Odpowiedź: Wartość wypadkowej siły wynosi około $175\text{kN}$. Wypadkowa siła działająca na pokrywę skrzyni jest tak duża, że płetwonurek nie poradzi sobie z jej otwarciem.