Za pomocą podnośnika hydraulicznego...- Zadanie 6.1.5.: NOWE Zrozumieć fizykę 1. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$m = 20 kg$

$H = 32 cm = 0, 32 m$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g = 9, 81 \frac{m}{s ^{2}}$ .

$a)$

Szukane:

$F = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie, jaką siłę musimy działać na mały tłok podnośnika, aby podnieść paczkę ruchem jednostajnym.

Prawo Pascala mówi nam, że jeżeli na ciecz (gaz) w zbiorniku zamkniętym wywierane jest ciśnienie zewnętrzne, to ciśnienie wewnątrz zbiornika jest wszędzie jednakowe i równe ciśnieniu zewnętrznemu.

Ciśnienie informuje nas, jak duża jest wartość siły działającej na jednostkę powierzchni. Możemy je obliczyć za pomocą wzoru:

$p = \frac{F _{N}}{S}$

gdzie:

$p$ - ciśnienie,

$F_{N}$ - wartość siły nacisku (parcia) działającej na powierzchnię,

$S$ - pole powierzchni, na którą działa ta siła.

Zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona, aby ciało poruszało się ruchem jednostajnym, to oddziałujące na nią siły muszą się równoważyć. Zatem wartość siły nacisku wywieranego na paczkę musi być równa wartości jej siły ciężkości:

$F_{N} = F_{c}$

gdzie:

$F_{c}$ - wartość siły ciężkości.

Zatem wzór na ciśnienie możemy przedstawić jako:

$p = \frac{F _{c}}{S}$

Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$F_{c} = m g$

gdzie:

$F_{c}$ - wartość siły ciężkości,

$m$ - masa ciała,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Zatem ciśnienie będzie miało postać:

$p = \frac{m g}{S}$

Zgodnie z prawem Pascala ciśnienie, z jakim oddziałujemy na paczkę musi być równe ciśnieniu wywieranemu przez podnośnik hydrauliczny:

$p = p_{h}$

gdzie:

$p$ - ciśnienie, z jakim oddziałujemy na paczkę,

$p_{h}$ - ciśnienie wywierane przez podnośnik hydrauliczny.

Ciśnienie wywierane przez podnośnik hydrauliczny ma postać:

$p_{h} = \frac{F _{N h}}{S _{h}}$

gdzie:

$F_{N h}$ - wartość siły nacisku, która jest wywierana przez pompę hydrauliczną,

$S_{h}$ - pole powierzchni, na którą nacisk wywiera pompa hydrauliczna.

Wstawiamy nasz wzór na ciśnienie paczki i wzór na ciśnienie wywierane przez podnośnik. Otrzymujemy:

$\frac{m g}{S} = \frac{F _{N h}}{S _{h}}$

Z treści zadania wiemy, że zależność między polami powierzchni jest następująca:

$S = 5 S_{h}$

Wstawmy to do naszego równania:

$\frac{m g}{5 S _{h}} = \frac{F _{N h}}{S _{h}}$

Przekształćmy teraz równanie względem wartości siły $F_{N h}$ i otrzymujemy:

$\frac{m g}{5 S _{h}} = \frac{F _{N h}}{S _{h}} ∣ \cdot S_{h}$

$F_{N h} = \frac{m g \cdot S _{h}}{5 S _{h}}$

$F_{N h} = \frac{1}{5} m g$

Wstawiamy dane liczbowe i otrzymujemy:

$F_{N h} = \frac{1}{1 5} \cdot 204 kg \cdot 9, 81 \frac{m}{s ^{2}} =$

$= 39, 24 kg \cdot \frac{m}{s ^{2}} = 39, 24 N$

Odpowiedź: Wartość siły, jaką musimy oddziaływać na pompę hydrauliczną wynosi $39, 24 N$ .

$b)$

Dane:

$Δ x_{1} = 8 cm = 0, 08 m$

Szukane:

$n = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie potrzebnej liczby cykli do podniesienia paczki.

Korzystamy z faktu, że podnosząc paczkę na jakąś wysokość, zmiana objętości cieczy w obu tłokach musi być taka sama.

W pierwszym kroku obliczmy objętość, o jaką przemieszcza się mały tłok w pierwszym cyklu:

$V_{1} = S_{h} \cdot Δ x_{1}$

gdzie:

$V_{1}$ - objętość, o jaką przemieszcza się mały tłok, przy jednym cyklu,

$S_{h}$ - pole powierzchni, na którą nacisk wywiera pompa hydrauliczna (jej wartość bierzemy z poprzedniego podpunktu),

$Δ x_{1}$ - przesunięcie małego tłoka.

W kolejnym kroku obliczmy objętość cieczy, jaka jest potrzebna do podniesienia cieczy na wysokość $H$ :

$V_{2} = S \cdot H$

gdzie:

$V_{2}$ - objętość cieczy potrzebna do podniesienia paczki na wysokość $H$ ,

$S$ - pole powierzchni, na którą działa siła z poprzedniego podpunktu,

$H$ - wysokość, na jaką mamy podnieść ciężar.

Liczbę cykli obliczamy jako iloraz objętości cieczy, o jaką chcemy podnieść ciężar do objętości cieczy, o jaką przemieszcza się tłok w pierwszym cyklu:

$n = \frac{V _{2}}{V _{1}}$