Dane: 

$m=0,1\text{kg}$

$h_{}=0,5\text{m}$

$\alpha =30^{\circ }$

$\mu =0,2$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartości przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

Szukane:

$b_{1-3}=?$

$t_{1-3}=?$

$E_{k\max 1-3}=?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest wyznaczenie wartości współczynnika b, czasu ruchu klocka oraz maksymalnej energii kinetycznej dla każdej z 3 sytuacji i wpisania ich do tabeli. Każdą sytuację rozważamy oddzielnie.

Swobodny spadek

Wiemy, że nasze ciało porusza się ruchem zmiennym. W ogólnym przypadku zależność położenia od czasu dla ruchu jednostajnie przyspieszonego (opóźnionego) ma postać:

$x\left(t\right)=x_0\pm v_{0}t\pm \frac{1}{2}a{t}^2$

gdzie:

$x\left(t\right)$ - położenie ciała w danym czasie, 

$t$ - czas, w którym rozważamy położenie danego ciała, 

$x_0$ - położenie początkowe ciała w rozważanym układzie, 

$v_0$ - szybkość początkowa ciała, 

$a$ - wartość przyspieszenia, z jakim ciało się porusza. 

Znaki w powyższym równaniu zależą od zwrotów poszczególnych wektorów oraz od tego, jaki zwrot przyjmiemy za „dodatni”. W naszym przypadku nie mamy szybkości początkowej oraz ruch zaczyna się na wysokości h. Klocek ma porusza się z przyspieszeniem grawitacyjnym. Przyjmijmy, że zwrot dodatni będzie w górę, a ujemny - w dół. Wówczas powyższy wzór ma postać:

$h(t)=h-\frac{g{t}^2}{2}$

gdzie:

$h\left(t\right)$ - wysokość, na jakiej znajduje się ciało w danej chwili.

$h$ - wysokość początkowa,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$t$ - czas ruchu.

Interesuje nas cały czas ruchu. Wiemy, że skończy się on gdy klocek spadnie na ziemię. Wówczas wysokość jest równa 0. W związku z tym możemy zapisać:

$0=h-\frac{g{t}_k^2}{2}$

gdzie:

$t_k$ - czas, po którym ruch się zakończył.

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby wyznaczyć czas ruchu klocka:

$0=h-\frac{g{t}_k^2}{2}|+\frac{g{t}_k^2}{2}$

$\frac{g{t}_k^2}{2}=h|:\frac{g}{2}$

$t_k^2=\frac{2h}{g}$

Bierzemy pierwiastek z obu stron:

$t_k=\sqrt{\frac{2h}{g}}$

Podstawiając wartości liczbowe:

$t_k=\sqrt{\frac{2\cdot 0,5\text{m}}{10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}}=\sqrt{0,1{\text{s}}^2}\approx 0,32\text{s}$

Współczynnik możemy obliczyć, korzystając ze wzoru otrzymanego w zadaniu 6.1. Wzór ten ma postać:

$b=\frac{mgh}{t^2}$

gdzie:

$b$ - współczynnik,

$m$ - masa ciała.

Zamiast podstawiać czas otrzymany z obliczeń, podstawimy wzór na niego, ponieważ otrzymany wynik jest zaokrąglony. Dzięki użyciu wzoru uzyskamy dokładniejszy wynik. Po podstawieniu otrzymujemy:

$b=\frac{mgh}{{\sqrt{\frac{2h}{g}}}^2}$

$b=\frac{mgh}{\frac{2h}{g}}$

$b=mg\cancel{h}\frac{g}{2\cancel{h}}$

$b=\frac{m{g}^2}{2}$

Podstawiając wartości liczbowe:

$b=\frac{0,1\text{kg}\cdot {\left(10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\right)}^2}{2}=\frac{0,1\text{kg}\cdot 100\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^4}}{2}=$

$=5\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^4}$

Jak wspomnieliśmy w poprzednim zadaniu, tuż przed zdarzeniem energia potencjalna zostanie całkowicie zamieniona na energię kinetyczną. W związku z tym możemy zapisać:

$E_k=E_p$

gdzie:

$E_k$ - energia kinetyczna,

$E_p$ - energia potencjalna.

 Energia potencjalna jest dana wzorem:

$E_p=mgh$

Podstawiając ten wzór do poprzedniego równania:

$E_k=mgh$

Podstawiając wartości liczbowe:

$E_k=0,1\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,5\text{m}=0,5\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}=$

$=0,5\text{J}$

Klocek zsuwa się z równi bez oporu

Jak wspomnieliśmy w poprzednim zadaniu, tutaj nie występują straty energii, więc maksymalna energia kinetyczna będzie taka sama jak w poprzedniej sytuacji. 

Zanim przejdziemy do obliczeń, wykonajmy rysunek przedstawiający siłę ciężkości działającą na klocek oraz jej składowe. Na poniższym rysunku nie zaznaczono siły nacisku równi na klocek, ponieważ, nie będzie ona istotna w późniejszych obliczeniach.

gdzie:

${\vec{F}}_c$ - siła ciężkości,

${\vec{F}}_{\perp }$ i ${\vec{F}}_{||}$ - składowe siły ciężkości.

Jak widzimy, jedyną siłą działającą na klocek wzdłuż powierzchni równi jest składowa równoległa siły ciężkości. Jest to jedyna siła w tym kierunku, więc jest to siła wypadkowa. W związku z tym możemy zapisać:

$F_{wyp.}=F_{||}$

gdzie:

$F_{wyp}$ - wartość siły wypadkowej,

$F_{||}$ - wartość składowej równoległej siły ciężkości.

 Z drugiej zasady dynamiki Newtona wiemy, że wartość siły wypadkowej możemy obliczyć ze wzoru:

 $F_{wyp}=ma$

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia.

Natomiast wartość składowej równoległej możemy obliczyć, korzystając ze wzoru na funkcję sinus. Z rysunku wynika, że możemy zapisać:

$\sin \alpha =\frac{F_{||}}{F_c}$

gdzie:

$F_c$ - wartość siły ciężkości.

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać wzór na wartość składowej równoległej:

$\sin \alpha =\frac{F_{||}}{F_c}|\cdot F_c$

$F_c\sin \alpha =F_{||}$

$F_{||}=F_c\sin \alpha$

Wiemy, że wartość siły ciężkości jest dana wzorem:

$F_c=mg$

 Podstawiając to do wzoru na wartość składowej równoległej:

$F_{||}=mg\sin \alpha$

Podstawiając otrzymane wzory na wartości składowej równoległej oraz siły wypadkowej do zapisanego wcześniej równania:

$ma=mg\sin \alpha$

$a=g\sin \alpha$

Wiemy, że ciało zsuwa się z równi ruchem jednostajnie przyspieszonym bez szybkości początkowej. Dla takiego ruchu możemy zapisać wzór na drogę:

$s=\frac{a{t}^2}{2}$

gdzie:

$s$ - droga.

Wiemy, że ruch klocka skończy się u jego podstawy, czyli przejedzie on całą długość równi. W związku z tym możemy zapisać wzór w postaci:

$l=\frac{a{t}^2}{2}$

gdzie:

$l$ - długość równi.

Podstawiamy otrzymany wcześniej wzór na wartość przyspieszenia:

$l=\frac{g\sin \alpha t^2}{2}$

Nie znamy długości równi, ale korzystając z rysunku oraz definicji funkcji sinus możemy zapisać:

$\sin \alpha =\frac{h}{l}$

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać wzór na długość równi:

$\sin \alpha =\frac{h}{l}|\cdot l$

$l\sin \alpha =h|:\sin \alpha$

$l=\frac{h}{\sin \alpha }$

Przyrównując do siebie wzory na długość równi:

$\frac{h}{\sin \alpha }=\frac{g\sin \alpha t^2}{2}$

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać wzór na czas:

$\frac{h}{\sin \alpha }=\frac{g\sin \alpha t^2}{2}|:\frac{g\sin \alpha }{2}$

$\frac{2h}{g{\sin }^2\alpha }=t^2$

 $t^2=\frac{2h}{g{\sin }^2\alpha }$

wyciągamy pierwiastek z obu stron:

$t=\sqrt{\frac{2h}{g{\sin }^2\alpha }}$

Podstawiając wartości liczbowe:

$t=\sqrt{\frac{2\cdot 0,5\text{m}}{10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\sin }^2\left(30^{\circ }\right)}}=$

$=\sqrt{\frac{1\text{m}}{10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2}}=\sqrt{\frac{0,1{\text{s}}^2}{\frac{1}{4}}}=$

$=\sqrt{0,4{\text{s}}^2}\approx 0,63{\text{s}}^{}$

Bierzemy wzór na energię kinetyczną z zadania i przekształcamy go tak, aby otrzymać wzór na współczynnik b:

$E_k=b{t}^2|:t^2$

$\frac{E_k}{t^2}=b$

$b=\frac{E_k}{t^2}$

Podstawiamy wartość energii kinetycznej otrzymanej dla poprzedniej sytuacji oraz czas obliczony dla tej sytuacji:

$b=\frac{0,5\text{J}}{{\left(0,63\text{s}\right)}^2}=\frac{0,5\text{J}}{0,4{\text{s}}^2}=1,25\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^4}$

Klocek zsuwa się po równi z oporem

W tej sytuacji pojawia się siła tarcia, więc trzeba ją uwzględnić. Będzie ona zwrócona przeciwnie do klocka, więc musimy odjąć ją do składowej równoległej. W związku z tym możemy zapisać:

$F_{wyp}=F_{||}-F_T$

gdzie:

$F_T$ - wartość siły tarcia.

Wzór na wartość siły tarcia możemy wziąć z zadania 1.2. Ma on postać:

$F_T=\mu mg\cos \alpha$

gdzie:

$\mu$ - współczynnik tarcia.

Wzory na wartość składowej równoległej siły ciężkości oraz na wartość siły wypadkowej pozostają takie same jak w poprzedniej sytuacji, więc możemy zapisać:

$ma=mg\sin \alpha -\mu mg\cos \alpha$

Możemy skrócić masy po obu stronach równania:

$a=g\left(\sin \alpha -\mu \cos \alpha \right)$

Podstawiamy to do wzoru na długość równi z poprzedniej sytuacji:

$l=\frac{g\left(\sin \alpha -\mu \cos \alpha \right)t^2}{2}$

Podstawiamy wzór na długość równi z poprzedniego podpunktu:

$\frac{h}{\sin \alpha }=\frac{g\left(\sin \alpha -\mu \cos \alpha \right)t^2}{2}$

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać wzór na czas:

$\frac{h}{\sin \alpha }=\frac{g\left(\sin \alpha -\mu \cos \alpha \right)t^2}{2}|:\frac{g\left(\sin \alpha -\mu \cos \alpha \right)}{2}$

$\frac{2h}{g\sin \alpha \left(\sin \alpha -\mu \cos \alpha \right)}=t^2$

$t^2=\frac{2h}{g\sin \alpha \left(\sin \alpha -\mu \cos \alpha \right)}$

Bierzemy pierwiastek z obu stron i otrzymujemy:

$t=\sqrt{\frac{2h}{g\sin \alpha \left(\sin \alpha -\mu \cos \alpha \right)}}$

Podstawiając wartości liczbowe:

$t=\sqrt{\frac{2\cdot 0,5\text{m}}{10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \sin \left(30^{\circ }\right)\cdot \left(\sin \left(30^{\circ }\right)-0,2\cdot \cos \left(30^{\circ }\right)\right)}}=$

$=\sqrt{\frac{1\text{m}}{10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 0,2\right)}}\approx$

$\approx \sqrt{\frac{1\text{m}}{5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \left(0,5-0,87\cdot 0,2\right)}}=$

$=\sqrt{\frac{1\text{m}}{5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \left(0,5-0,174\right)}}=$

$=\sqrt{\frac{1\text{m}}{5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,326}}=\sqrt{\frac{1\cancel{\text{m}}}{1,63\frac{\cancel{\text{m}}}{{\text{s}}^2}}}\approx$

$\approx \sqrt{0,61{\text{s}}^2}\approx 0,78\text{s}$

W celu obliczenia współczynnika b bierzemy wzór otrzymany dla tej sytuacji w zadaniu 1.2:

$b=\frac{mgh}{t^2}(1-\mu \mathrm{ctg}\alpha )$

Podstawiając wartości liczbowe:

$b=\frac{0,1\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,5\text{m}}{{\left(0,78\text{s}\right)}^2}\left(1-0,2\cdot \sqrt{3}\right)\approx$

$\approx \frac{0,5\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}{0,61{\text{s}}^2}\cdot \left(1-0,35\right)\approx$

$\approx 0,82\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^4}\cdot 0,65\approx 0,53\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^4}$

Podstawiając otrzymane wartości do wzoru na energię kinetyczną z polecenia:

$E_k=0,53\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^4}\cdot {\left(0,78\text{s}\right)}^2=$

$=0,53\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^4}\cdot 0,61{\text{s}}^2\approx 0,32\text{J}$

Odpowiedź:

	$b\left(\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^4}\right)$	$t\left(\text{s}\right)$	$E_{k\max }\left(\text{J}\right)$
Sytuacja 1	5	0,32	0,5
Sytuacja 2	1,25	0,63	0,5
Sytuacja 3	0,53	0,78	0,32